1.7.1
定积分在几何中的应用
同步练习
1．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为( )
A．
B．
C．ln
2
D．2ln
2
解析： S＝dx＝ln
2－ln＝2ln
2，故选D.
答案： D
2．如图，两曲线y＝3－x2与y＝x2－2x－1所围成的图形面积是( )
A．6
B．9
C．12
D．3
解析： 由
解得交点(－1，2)，(2，－1)，
所以S＝
[(3－x2)－(x2－2x－1)]dx
＝
(－2x2＋2x＋4)dx
＝
＝9，故选B.
答案： B
3．如图，阴影部分面积为( )
A．
[f(x)－g(x)]dx
B．
[g(x)－f(x)]dx＋
[f(x)－g(x)]dx
C．
[f(x)－g(x)]dx＋
[g(x)－f(x)]dx
D．
[g(x)－f(x)]dx
解析： ∵在区间(a，c)上g(x)>f(x)，而在区间(c，b)上g(x)∴S＝
[g(x)－f(x)]dx＋
[f(x)－g(x)]dx，故选B.
答案： B
4．由y＝x2，y＝，y＝1所围成的图形的面积为( )
A．
B．
C．2
D．1
解析：
因为曲线所围成的图形关于y轴对称，如图所示，面积S满足
S＝x2dx＋1dx－dx
＝＋x－＝，
所以S＝，
故选A.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图所示，由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．
解析： 由，得交点坐标为(1，5)，(4，20)，
∴所求面积S＝
(x2＋4－5x)dx＋
(5x－x2－4)dx
＝＋＝.
答案：
6．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1，0)和点B(3，0)处的切线所围图形的面积为________．
解析： 由y′＝－2x＋4得在点A，B处切线的斜率分别为2和－2，则直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，
由得两直线交点坐标为C(2，2)，
∴S＝S△ABC－
(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－＝2－＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形的面积．
解析： 作出图形，
S＝
(ex－e－x)dx
＝(ex＋e－x)
＝e＋e－1－e0－e0
＝e＋－2.
8．求由曲线y＝与直线y＝2－x，y＝－x围成的图形的面积．
解析： 由曲线y＝与直线y＝2－x，y＝－x围成的图形大致如下图所示，
由
可得交点A(1，1)，O(0，0)，B(3，－1)．
所以所求面积为
S＝dx＋dx
＝＋
＝＋6－3－2＋＝.
9.过原点的直线l与抛物线y＝x2－4x所围成图形的面积为36，求l的方程．
解析： 由题意可知直线的斜率存在，故设直线l的方程为
y＝kx，
则由
得或
(1)当k＋4>0，即k>－4时，
面积S＝(kx－x2＋4x)dx
＝
＝k(k＋4)2－(k＋4)3＋2(k＋4)2
＝(k＋4)3＝36，
∴k＝2，故直线l的方程为y＝2x；
(2)当k＋4<0，即k<－4时，
S＝(kx－x2＋4x)dx
＝
＝－
＝－(k＋4)3＝36，
∴k＝－10，故直线l的方程为y＝－10x.
综上，直线l的方程为y＝2x或y＝－10x.1.7.1
定积分在几何中的应用
同步练习
一、选择题
1．由y＝，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为( )
A．ln2
B．ln2－1
C．1＋ln2
D．2ln2
答案 A
解析 画出曲线y＝(x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积S为如图所示的阴影部分面积．
∴S＝dx＝lnx＝ln2－ln1＝ln2.故选A.
2．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成的图形面积是，则c＝( )
A．1
B.
C.
D．2
答案 B
3．由曲线y＝ex，x＝2，x＝4，y＝0所围成的图形的面积等于( )
A．e4－e2
B．e4
C．e3－e2
D．e2
答案 A
4．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
5．由直线x＝－2，x＝2，y＝0及曲线y＝x2－x所围成的平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 画出直线x＝－2，x＝2，y＝0和曲边y＝x2－x，则所求面积S为图中阴影部分的面积．
∴S＝－2(x2－x)dx＋＋(x2－x)dx＝＋＋＝0－＋＋－＝＋＋＝.故选B.
6.
|x2－4|dx＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
7．若
(2x－3x2)dx＝0，则k＝( )
A．0
B．1
C．0或1
D．以上都不对
答案 B
8．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则
f(－x)dx的值等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
二、填空题
9.
dx＝________.
答案 πa2
10．由曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积等于________．
答案
11.
从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
答案
12．由y＝cosx，x＝0，x＝，y＝0所围成的图形的面积表示为定积分的形式是________．
答案 略
三、解答题
13.
求曲线y＝sinx与直线x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积(如右图)．
解析 S＝
＝1＋2＋1－
＝3－.
重点班·选做题
14．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积．
解析 (1)∵y＝f(x)是二次函数且f′(x)＝2x＋2，
∴设f(x)＝x2＋2x＋c.
又f(x)＝0有两个等根，
∴4－4c＝0，∴c＝1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)y＝f(x)的图像与两坐标所围成的图形的面积S＝－1(x2＋2x＋1)dx＝.
15．已知f(a)＝
(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．
解析 f(a)＝(x3－a2x2)|，
∴f(a)＝－a2＝－(a－)2＋.
∴当a＝时，f(a)的最大值是.
教师备选题
1．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．
解析 f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝0＝b，a＋c＝2.
又f(x)dx＝－2，
∴
(ax2＋c)dx＝(ax3＋cx)|＝a＋c＝－2.
∴有求得a＝6，b＝0，c＝－4.
