江苏省盐城市南洋中学2016-2017学年高一（上）期中数学试卷（解析版）

2016-2017学年江苏省盐城市南洋中学高一（上）期中数学试卷
　
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=　　．
2．设A={1，﹣7}，则﹣7　　A．
3．函数f（x）=的定义域是　　．
4．满足不等式3x＜的实数x的取值范围是　　．
5．若f（x+1）=xx+2x+2，则f（2）=　　．
6．计算﹣lg2﹣lg5=　　．
7．设指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的减函数，则a的取值范围是　　．
8．函数y=ax+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点　　（填点的坐标）
9．若A={x|x＜5}，B={x|x＜a}且A B，则实数a的取值范围　　．
10．若f（x）=x2﹣ax+b，f（1）=﹣1，f（2）=2，则f（﹣4）=　　．
11．设f（x）的定义域为{x|0≤x≤2}，则函数y=f（x+3）的定义域为　　．
12．函数y=x2﹣4x+6的值域为　　．
13．已知f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+2x，则当x＜0时，f（x）=　　．
14．已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集　　．
　
二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|a＜x＜a+2}
（1）求A∪B，A∩B；
（2）若C （A∪B），求a的取值范围．
16．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+2x﹣1，
（1）求f（﹣2）；
（2）求f（x）的表达式．
17．（1）+=2，求a+a﹣1，a2+a﹣2的值．
（2）0.2x＜25，求实数x的取值范围．
18．f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，f（1﹣a）＞f（2a﹣1），求a的取值范围．
19．若≤log2x≤3，求函数y=（log2x﹣1）（log2x﹣2）的值域．
20．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上的增函数
（Ⅲ）解关于实数t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
　
2016-2017学年江苏省盐城市南洋中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=　{2}　．
【考点】交集及其运算．
【分析】直接利用交集的运算求解．
【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，
∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}．
故答案为：{2}．
　
2．设A={1，﹣7}，则﹣7　∈　A．
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】直接由集合与元素关系的判断．
【解答】解：∵A={1，﹣7}，
∴﹣7∈A．
故答案为：∈．
　
3．函数f（x）=的定义域是　{x|x≥﹣2且x≠1}　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．
【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，
解得，x≠1且x≥﹣2；
故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，
故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．
　
4．满足不等式3x＜的实数x的取值范围是　（﹣∞，﹣3）　．
【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】把不等式右边化为3﹣3，然后利用指数函数的单调性得答案．
【解答】解：由，得3x＜3﹣3，即x＜﹣3．
∴满足不等式的实数x的取值范围是（﹣∞，﹣3）．
故答案为：（﹣∞，﹣3）．
　
5．若f（x+1）=xx+2x+2，则f（2）=　5　．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】令x+1=2，则x=1，代入右边，得到所求．
【解答】解：令x+1=2，则x=1，所以f（2）=11+2×1+2=5；
故答案为：5．
　
6．计算﹣lg2﹣lg5=　3　．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用指数的运算法则以及导数的运算法则化简求解即可．
【解答】解：
=4﹣2=3．
故答案为：3．
　
7．设指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的减函数，则a的取值范围是　1＜a＜2　．
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【分析】欲使得指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的减函数，只须其底数小于1即可，从而求得a的取值范围．
【解答】解：根据指数函数的性质得：
0＜a﹣1＜1，
∴1＜a＜2．
故答案为1＜a＜2．
　
8．函数y=ax+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点　（0，2）　（填点的坐标）
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【分析】由指数年函数的性质知，可令指数为0，求得函数图象经过的定点的坐标
【解答】解：令x=0，得y=a0+1=2
∴函数y=ax+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点
（0，2）
故答案为：（0，2）．
　
9．若A={x|x＜5}，B={x|x＜a}且A B，则实数a的取值范围　a≥5　．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】由集合的包含关系知a≥5．
【解答】解：∵A={x|x＜5}，B={x|x＜a}，
∴a≥5，
故答案为：a≥5．
　
10．若f（x）=x2﹣ax+b，f（1）=﹣1，f（2）=2，则f（﹣4）=　14　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】由条件列方程组求得a、b的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（﹣4）的值．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣ax+b，f（1）=﹣1，f（2）=2，∴，
求得，∴f（x）=x2﹣2，∴f（﹣4）=16﹣2=14，
故答案为：14．
　
11．设f（x）的定义域为{x|0≤x≤2}，则函数y=f（x+3）的定义域为　{x|﹣3＜x＜﹣1}　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由题意可得0≤x+3≤2，解不等式即可得到所求函数的定义域．
【解答】解：f（x）的定义域为{x|0≤x≤2}，
由题意可得0≤x+3≤2，
解得﹣3≤x≤﹣1．
则定义域为{x|﹣3＜x＜﹣1}．
故答案为：{x|﹣3＜x＜﹣1}．
　
12．函数y=x2﹣4x+6的值域为　[2，+∞）　．
【考点】函数的值域．
【分析】将函数y=x2﹣4x+6进行配方，求出它的值域．
【解答】解：函数y=x2﹣4x+6=（x﹣2）2+2≥2，
故y≥2，
函数的值域是：[2，+∞）．
　
13．已知f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+2x，则当x＜0时，f（x）=　﹣x2+2x　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】设x＜0，则﹣x＞0，再根据条件利用奇函数的定义求得f（x）的解析式．
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=x2+2x，f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2+2x，
故答案为：﹣x2+2x．
　
14．已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集　（﹣2，﹣1）∪（1，2）．　．
【考点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象．
【分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，由xf（x）＜0可得x与f（x）符号相反，根据奇函数的对称性可求得结果
【解答】解：∵xf（x）＜0
①当x＞0时，f（x）＜0，
结合函数的图象可得，1＜x＜2，
（2）x＜0时，f（x）＞0，
根据奇函数的图象关于原点对称可得，﹣2＜x＜﹣1，
∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．
故答案为：（﹣2，﹣1）∪（1，2）．
　
二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|a＜x＜a+2}
（1）求A∪B，A∩B；
（2）若C （A∪B），求a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．
【分析】（1）直接利用并集、补集和交集的定义进行求解；
（2）由C （A∪B），结合两集合端点值间的关系列不等式组，求解不等式组得a的取值范围
【解答】解：（1）∵A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，
∴A∩B={x|3≤x≤7}，
A∪B={x|2＜x＜10}，
（2）∵C （A∪B），
∴，
∴2≤a≤8．
　
16．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+2x﹣1，
（1）求f（﹣2）；
（2）求f（x）的表达式．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．
【分析】（1）利用函数f（x）时奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），可得f（﹣2）的值．
（2）利用奇函数的性质求解f（x）在定义在R上的解析式即可．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，即f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（﹣2）=﹣f（2）
∵当x＞0时，f（x）=x2+2x﹣1，
∴f（2）=22+4﹣1=7
∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣7．
（2）∵f（x）是定义在R上的奇函数，即f（0）=0，
当x＞0时，f（x）=x2+2x﹣1，
那么：x＜0时，则﹣x＞0，
可得：f（﹣x）=x2﹣2x﹣1，
∵f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣x2+2x+1，
故得f（x）在定义在R上的解析式为f（x）=．
　
17．（1）+=2，求a+a﹣1，a2+a﹣2的值．
（2）0.2x＜25，求实数x的取值范围．
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【分析】（1）采取平方法即可求出，
（2）转化为同底数的，再根据函数的单调性即可解得．
【解答】解：（1）∵+=2，
∴a+a﹣1=（+）2﹣2=2，
∴a2+a﹣2=（a+a﹣1）2﹣2=2
（2）0.2x＜25，即5﹣x＜52，
∴﹣x＜2，
解得x＞﹣2，
故其范围为（﹣2，+∞）．
　
18．f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，f（1﹣a）＞f（2a﹣1），求a的取值范围．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】利用函数的单调性列出不等式组，求解即可．
【解答】解：f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，f（1﹣a）＞f（2a﹣1），
可得：，
解得：﹣＜a＜1．
　
19．若≤log2x≤3，求函数y=（log2x﹣1）（log2x﹣2）的值域．
【考点】函数的值域．
【分析】由题意：log2x=t，因为≤log2x≤3，即≤t≤3，函数y=（t﹣1）（t﹣2）的值域问题．利用二次函数的性质求解
【解答】解：由题意：≤log2x≤3，令log2x=t，即得：≤t≤3，
那么：函数y=（log2x﹣1）（log2x﹣2）转化为：y=（t﹣1）（t﹣2）=t2﹣3t+2，
由二次函数的图象及性质可知：开口向上，对称轴t=，
∵≤t≤3，
∴当t=时，函数y取得最小值为；
当t=3时，函数y取得最大值为2；
故得函数y=（log2x﹣1）（log2x﹣2）的值域为[，2]．
　
20．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上的增函数
（Ⅲ）解关于实数t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．
【分析】（Ⅰ）首先利用函数在（﹣1，1）上有定义且为奇函数，所以f（0）=0，首先确定b的值，进一步利求出a的值，最后确定函数的解析式．
（Ⅱ）直接利用定义法证明函数的增减性．
（Ⅲ）根据以上两个结论进一步求出参数的取值范围．
【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数．
所以：f（0）=0
得到：b=0
由于且f（）=
所以：
解得：a=1
所以：
（Ⅱ）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1
则：f（x2）﹣f（x1）=
=
由于：﹣1＜x1＜x2＜1
所以：0＜x1x2＜1
即：1﹣x1x2＞0
所以：
则：f（x2）﹣f（x1）＞0
f（x）在（﹣1，1）上的增函数．
（Ⅲ）由于函数是奇函数，
所以：f（﹣x）=﹣f（x）
所以f（t﹣1）+f（t）＜0，转化成f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t）．
则：
解得：
所以不等式的解集为：{t|}
　
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