苏科版初二数学下册第十二章《二次根式》检测试题

第十二章《二次根式》提优检测
一．选择题（共7小题）
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
2．下列各式变形中，正确的是（　　）
A．x2?x3=x6 B． =|x|
C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+
3．下列根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A．﹣= B．3×2=6 C．（2）2=16 D． =1
6．计算：3÷3﹣2的结果为（　　）
A．﹣2 B． C．6﹣2 D．36﹣2
7．化简﹣（）2，结果是（　　）
A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4
　
二．填空题（共8小题）
8．若代数式有意义，则x的取值范围是　　．
9．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为　　．

10．化简：（0＜a＜1）=　　．
11．计算： =　　．
12．观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an=　　；
（2）a1+a2+a3+…+an=　　．
13．化简： =　　．
14．公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到的近似值．他的算法是：先将看出：由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值时，近似公式中的a是　　，r是　　．
15．如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是　　．
　
三．解答题（共15小题）
16．已知x，y为实数，且，求的值．
17．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．
18．已知，求（m+n）2016的值？
19．2×÷5．
20．观察下面的变形规律：
=， =， =， =，…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想=　　；
（2）计算：
（++…+）×（）
21．已知：y=++，求﹣的值．
22．计算或化简：
﹣（3+）；
23．计算：
（3﹣）（3+）+（2﹣）
24．计算：．
25．计算：
（1）9+5﹣3；
（2）2；
（3）（）2016（﹣）2015．
26．在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：
====﹣1．
还可以用以下方法化简：
====﹣1．
这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．
分别用上述两种方法化简：．
27．阅读下面的材料，并解答后面的问题：
==﹣1
==﹣；
==﹣
（1）观察上面的等式，请直接写出（n为正整数）的结果　　；
（2）计算（）（）=　　；
（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++…+）（）．
28．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ==；
===﹣1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
====﹣1．
（1）请任用其中一种方法化简：
①；
②（n为正整数）；
（2）化简： +++…．
29．阅读材料并解决问题： ===﹣，像上述解题过程中， +与﹣相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
（1）的有理化因式是　　；﹣2的有理化因式是　　；
（2）将下列式子进行分母有理化：①=　　；②=　　；
（3）已知a=，b=4﹣2，利用上述知识比较a与b的大小．
30．阅读理解材料：把分母中的根号去掉叫做分母有理化，例如：
①；②等运算都是分母有理化．根据上述材料，
（1）化简：
（2）计算：
（3）．
　
答案与解析
一．选择题
1．（2016?贵港）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故选：C．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．
　
2．（2016?杭州）下列各式变形中，正确的是（　　）
A．x2?x3=x6 B． =|x|
C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+
【分析】直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、x2?x3=x5，故此选项错误；
B、=|x|，正确；
C、（x2﹣）÷x=x﹣，故此选项错误；
D、x2﹣x+1=（x﹣）2+，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混合运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
　
3．（2016?临夏州）下列根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、=，故此选项错误；
B、是最简二次根式，故此选项正确；
C、=3，故此选项错误；
D、=2，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
　
4．（2016?巴中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．
【解答】解：A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；
B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；
C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；
D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
　
5．（2016?来宾）下列计算正确的是（　　）
A．﹣= B．3×2=6 C．（2）2=16 D． =1
【分析】A、和不是同类二次根式，不能合并；
B、二次根式相乘，系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，作为积中的被开方数；
C、二次根式的乘方，把每个因式分别平方，再相乘；
D、二次根式的除法，把分母中的根号化去．
【解答】解：A、不能化简，所以此选项错误；
B、3×=6，所以此选项正确；
C、（2）2=4×2=8，所以此选项错误；
D、==，所以此选项错误；
本题选择正确的，故选B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
　
6．计算：3÷3﹣2的结果为（　　）
A．﹣2 B． C．6﹣2 D．36﹣2
【分析】根据二次根式的除法和减法可以解答本题．
【解答】解：3÷3﹣2
=
=6﹣2，
故选C．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
　
7．化简﹣（）2，结果是（　　）
A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4
【分析】求值的第一个式子是个完全平方公式，开方要注意正负值，由已知条件可得3x﹣5≥0，即3x≥5，所以3x﹣1＞0，据此求解．
【解答】解：由已知条件可得3x﹣5≥0，即3x≥5，则3x﹣1＞0，
∴原式=（）2=3x﹣1﹣（3x﹣5）=3x﹣1﹣3x+5=4．
故选D．
【点评】此题考查二次根式的化简求值，利用了、=a（a≥0）的性质．
　
二．填空题
8．（2016?自贡）若代数式有意义，则x的取值范围是　x≥1　．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x≠0，
解得x≥1且x≠0，
所以，x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
　
9．（2016?乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为　3　．

【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，
则+|a﹣2|
=5﹣a+a﹣2
=3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．
　
10．（2016?博野县校级自主招生）化简：（0＜a＜1）=　﹣a　．
【分析】结合二次根式的性质进行化简求解即可．
【解答】解：
=
=|a﹣|．
∵0＜a＜1，
∴a2﹣1＜0，
∴a﹣=＜0，
∴原式=|a﹣|=﹣（a﹣）=﹣a．
故答案为：﹣a．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的性质及二次根式的化简．
　
11．（2016?聊城）计算： =　12　．
【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．
【解答】解： 
=3×÷
=3
=12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
　
12．（2016?黄石）观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：an=　=﹣；　；
（2）a1+a2+a3+…+an=　﹣1　．
【分析】（1）根据题意可知，a1==﹣1，a2==﹣，a3==2﹣，a4==﹣2，…由此得出第n个等式：an==﹣；
（2）将每一个等式化简即可求得答案．
【解答】解：（1）∵第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
∴第n个等式：an==﹣；
（2）a1+a2+a3+…+an
=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）
=﹣1．
故答案为=﹣；﹣1．
【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
　
13．（2016?威海）化简： =　　．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式=3﹣2=．
故答案为：．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
　
14．（2016?厦门）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到的近似值．他的算法是：先将看出：由近似公式得到；再将看成，由近似值公式得到；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．当取得近似值时，近似公式中的a是　或　，r是　﹣或　．
【分析】根据近似公式得到，然后解方程组即可．
【解答】解：由近似值公式得到，
∴a+=，
整理得204a2﹣577a+408=0，解得a1=，a2=，
当a=时，r=2﹣a2=﹣；
当a=时，r=2﹣a2=．
故答案为a=，r=﹣或a=，r=．
【点评】本题考查了二次根式的应用：利用类比的方法解决问题．
　
15．如果最简二次根式与可以合并，那么使有意义的x的取值范围是　x≤10　．
【分析】根据二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得a的值，根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由最简二次根式与可以合并，得
3a﹣8=17﹣2a．
解得a=5．
由有意义，得
20﹣2x≥0，解得x≤10，
故答案为：x≤10．
【点评】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出关于a的方程是解题关键．
　
三．解答题（共15小题）
16．已知x，y为实数，且，求的值．
【分析】已知根号下为非负数，所以在中，可以得到x=9，从而可得y的值，代入即可．
【解答】解：∵有意义，
∴，解得x=9，
所以y=4，
所以， =3+2=5．
【点评】本题考查的是对二次根式意义的理解和化简求值，要求学生熟练掌握应用．
　
17．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x的值，进而可求出y的值，然后代入x﹣y2求值即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：x=，
把x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，
当x=，y=﹣4时x﹣y2=﹣16=﹣14．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
　
18．已知，求（m+n）2016的值？
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出m、n的值，代入代数式计算即可．
【解答】解：由题意得，16﹣n2≥0，n2﹣16≥0，n+4≠0，
则n2=16，n≠﹣4，
解得，n=4，
则m=﹣3，
（m+n）2016=1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
　
19． 2×÷5．
【分析】本题需先根据二次根式的乘除法的法则分别进行计算，即可求出答案．
【解答】解：2×÷5
=4×
=
=．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，在解题时要根据二次根式的乘除法的法则进行计算是本题的关键．
　
20．观察下面的变形规律：
=， =， =， =，…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想=　﹣　；
（2）计算：
（++…+）×（）
【分析】（1）根据题意确定出一般性规律，写出即可；
（2）原式分母有理化后，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）=﹣；
故答案为：﹣；
（2）原式=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]（+1）
=（﹣1）（+1）
=（）2﹣12
=2016﹣1
=2015．
【点评】此题考查了分母有理化，弄清题中分母有理化规律是解本题的关键．
　
21．已知：y=++，求﹣的值．
【分析】首先根据二次根式中的被开方数必须是非负数，求出x的值是多少，进而求出y的值是多少；然后把求出的x、y的值代入化简后的算式即可．
【解答】解：∵+有意义，
∴，
解得x=8，
∴y=++
=++
=0+0+
=
∴﹣
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣
=
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
　
22．（2016?泰州）计算或化简：
﹣（3+）；
【分析】先化成最简二次根式，再去括号、合并同类二次根式即可；
【解答】解： ﹣（3+）
=﹣（+）
=﹣﹣
=﹣；
【点评】本题考查了二次根式的加减法以及分式的混合运算，正确化简是解题的关键．
　
23．（2016?盐城）计算：
（3﹣）（3+）+（2﹣）
【分析】利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：原式=9﹣7+2﹣2
=2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
　
24．计算：．
【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．
【解答】解：原式=﹣+2
=4﹣+2
=4+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算．
　
25．计算：
（1）9+5﹣3；
（2）2；
（3）（）2016（﹣）2015．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用二次根式的乘除法则运算；
（3）先利用积的乘方得到原式=[（+）（﹣）]2015?（+），然后利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式=9+10﹣12
=7；
（2）原式=2×2×2×
=；
（3）原式=[（+）（﹣）]2015?（+）
=（5﹣6）2015?（+）
=﹣（+）
=﹣﹣．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
　
26．在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：
====﹣1．
还可以用以下方法化简：
====﹣1．
这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．
分别用上述两种方法化简：．
【分析】根据题中给出的例子把原式进行分母有理化即可．
【解答】解： ====+；
或： ====+．
【点评】本题考查的是分母有理化，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
　
27．阅读下面的材料，并解答后面的问题：
==﹣1
==﹣；
==﹣
（1）观察上面的等式，请直接写出（n为正整数）的结果　﹣　；
（2）计算（）（）=　1　；
（3）请利用上面的规律及解法计算：（+++…+）（）．
【分析】（1）利用分母有理化的方法解答；
（2）根据平方差公式计算即可；
（3）利用阅读材料的结论和二次根式的加减混合运算法则计算．
【解答】解：（1）==﹣，
故答案为：﹣；
（2）（）（）=（）2﹣（）2=1，
故答案为：1；
（3）（+++…+）（）
=（﹣1+﹣+…+﹣）（）
=（﹣1）（+1）
=2017﹣1
=2016．
【点评】本题考查的是分母有理化的应用，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．
　
28．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ==；
===﹣1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
====﹣1．
（1）请任用其中一种方法化简：
①；
②（n为正整数）；
（2）化简： +++…．
【分析】（1）根据阅读材料中的方法将各式化简即可；
（2）原式分母有理化后，合并即可得到结果．
【解答】解：（1）①原式====+；
②原式====﹣；
（2）原式=++…+=﹣1+﹣+…+﹣=﹣1．
【点评】此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解本题的关键．
29．阅读材料并解决问题： ===﹣，像上述解题过程中， +与﹣相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
（1）的有理化因式是　　；﹣2的有理化因式是　+2　；
（2）将下列式子进行分母有理化：①=　　；②=　3﹣　；
（3）已知a=，b=4﹣2，利用上述知识比较a与b的大小．
【分析】（1）直接利用有理化因式的概念分析得出答案；
（2）利用有理化因式的概念化简求出答案；
（3）直接利用有理化因式的概念化简求出答案．
【解答】解：（1）的有理化因式是：，
﹣2的有理化因式是： +2；
故答案为：， +2；
（2）①=；
②=3﹣；
故答案为：；3﹣；
（3）∵a===4﹣2，
∴a=b．
【点评】此题主要考查了有理化因式的概念，正确化简二次根式是解题关键．
　
30．阅读理解材料：把分母中的根号去掉叫做分母有理化，例如：
①；②等运算都是分母有理化．根据上述材料，
（1）化简：
（2）计算：
（3）．
【分析】（1）直接找出有理化因式，进而分母有理化得出答案；
（2）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案；
（3）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案．
【解答】解：（1）==+；
（2）