第八单元：数学广角—数与形 单元备课
教材分析
本课时的教学内容是“数与形”。根据教材例题的具体内容及形式，本课时在教学设计上有以下特点。
1．重视“数”“形”之间的联系，找到解题规律。
教学伊始，从观察、分析例1中图与算式的关系入手，引导学生探究算式左边的加数与大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含小正方形个数的关系，发现“数”“形”之间的联系，找到规律，使学生在体验用形表示数的直观性的同时，学会应用规律解决问题。
2．借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。
教学例2时，从观察抽象的算式特点开始，先通过简单的计算找到得数规律，再借助多种几何图形直观验证计算过程及结果，使学生在初步了解、运用“数形结合”思想方法的同时，体验到数学的极限思想。
3．通过举一反三，培养数学能力。
在巩固练习时，充分利用教材习题，引导学生在解决问题时能举一反三地运用所学，使学生的解题能力得到培养。
教学目标
1、使学生通过自主研究发现图形中隐藏着的书的规律，并会应用所发现的规律。
2、使学生会利用图型来解决一些有关的问题。
3、使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合`、归纳推理、极限等基本的数学思想。
重难点
重点：引导学生理解图形和数字的对应关系，并结合图形的变化规律，发现相应的数字规律。
难点：探索规律并验证规律
课时安排
本单元安排两课时
1、数与形 一课时
2、练习课 一课时
数与形
第1课时
教学内容
数学书第107页例1及相关练习。
教学
目标
知识与技能：体会数与形的联系，进一步积累数形结合解决问题的活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。
过程与方法：体会数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。
情感、态度与价值观：
教学重点
引导学生理解图形和数字的对应关系，并结合图形的变化规律，发现相应的数字变化规律。
教学难点
使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想。
教学方法
引导发现法、自主探究法。
教学准备
电子白板、若干小正方形、计算器等。
教学过程设计
设计意图
教学过程
一、忆数形结合。
1、学生回忆：最初学数学时，家长和老师是怎么教1+1=2。
2、课件展示：在我们学过的数学里，哪些地方运用了数形结合的思想。
3、导入新课：我们都知道，从我们学数学起，数与形的思想就一直伴随着我们，他们互帮互助、密不可分。默默无闻地帮助我们解决了很多数学难题，这节课，我们把它们从幕后请到台上，好不好？
二、以形助数：教学例1。
1、师生互动：比赛计算从1开始的连续奇数的和。
两个学生用计算器、其他学生口算，老师口算，看谁算得又快又准。
2、观察思考，发现规律。
⑴ 根据算式中的加数拿出相应个数的小正方形，引导发现小正方形正好可以排列成一个大正方形。
⑵ 观察发现：引导学生观察正方形图中的小正方形数的规律，并把正方形图与下面的加法算式对照，寻找图形和算式之间有什么关系？
发现一：算式左边中的每个加数正好与正方形图中以颜色区分的“∟”形图形中的小正方形数相对应；
发现二：这些加法算式的和等于正方形图中包含的小正方形个数的和；
发现三：每个大正方形图中包含的小正方形个数的和，还可以列乘法算式，即每行的个数×列数=每行或每列小正方形数的平方；
发现四：根据等式的传递性，加法算式的和=每边小正方形数的平方；
发现五：左边算式中加数的个数与对应的大正方形中每行(或每列)的小正方形的个数相同；即：加法算式中有几个奇数相加，每边的小正方形数就是几；
发现六：从1开始，几个连续奇数相加，和就是几的平方。
⑶ 师生共同小结发现的规律：从1开始，几个连续奇数相加，和就是几的平方。
⑷ 学生举个具体的例子来说明一下这个规律。
⑸ 运用规律解决问题。（电子白板展示练习）
学生独立完成课本107页基本练习一。
1＋3＋5＋7＝( )2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝( )2
____________________＝92
学生利用规律独立完成，个别汇报。
②完成课本108页做一做第1题。
学生独立试做，个别汇报，并在电子白板上圈一圈，算一算，展示自己的思维过程
⑹ 教师小结：这个简便方法快吗？这么巧妙的方法，我们是借助什么来发现的？看来有的计算问题，是可以借助图形来思考的。（板书：以形助数）计算问题可以借助图形来思考，自己会不会蕴藏着数的规律呢？
三、以数解形：研究课本108页做一做第2题。
1、提问：下面每个图形中各有几个红色和蓝色的小正方形？（学生汇报，课件分别出示红色和蓝色小正方形的个数）
2、探索形的规律，引导学生仔细观察图形，由于中间每增加一个红色小正方形，上下必增加2个蓝色小正方形，即：上下蓝色正方形的个数是红色个数的2倍。其中左右两边有6个固定的蓝色正方形。
3、寻找数的规律，通过形的直观展示，帮助学生发现
蓝色正方形个数=红色正方形个数×2+6
4、小结：看来图形里面确实蕴藏着数的规律，（板书：以数解形）其实数和形之间还有很多的奥秘，有的特殊的数和特殊的形之间还存在着密切的联系。
四、数形结合：课本练习二十二第2题。
1、学生观察思考图和数之间又有着什么规律，同桌相互交流。
2、个别汇报，引导学生发现，第几行，就有几个图形。
3、介绍“三角形数”
4、回头介绍“正方形数”
5、介绍“正方形数”与“三角形”数之间的联系。即，任意一个正方形数，可以拆成两个三角形数相加。（课件展示）
6、小结：数和形之间有着千丝万缕的联系，上课前我们已经知道，我们数学的学习中处处都是数形结合的例子，希望数与形结合思想能帮助你们解决更多的难题。
五、全课小结
1、引导学生总结：这节课我们研究了数与形，你有什么感受？
2、教师总结：上课前通过这节课的学习，我们更加深刻的认识到，数与形可以互相帮助，遇到问题时，我们可以借形想数、借数帮形。数形结合的奇妙，在网上我们可以了解更多的趣味数字，像花朵数、巧数、金蝉脱壳数，它们神秘有趣，这正如我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，树形结合百般好，隔离分家万事休。”（电子白板出示）。
通过忆以往学习数学时数形结合的例子，让学生感知数形思想一直伴随着我们。数形密不可分。
通过师生比赛计算，激发学生想知道从1开始的连续奇数的和的简便计算方法。
引导学生借助图形的直观展示，发现从1开始的连续奇数相加的和的简便算法。从而感受到形可以帮助发现数的规律。
学生自己举例，真切地感受简便算法。
通过练习加深理解规律。
通过这一题的教学，让学生感受到形里面也蕴藏着数的规律。
利用本题，让学生感受数与形的完美结合，数与形密不可分，互帮互助。
总结全课，引导孩子学习中更好的运用数学结合的思想。
板书设计
数 与 形
一、以形助数
1=1×1=(1)2 1+3=2×2=(2)2 1+3+5=3×3=(3)2
从1开始，几个连续奇数相加，和就是几的平方。
二、以数解形
正方形个数=红色正方形个数×2+6
三、数形结合
求等比数列的和
第1课时
教学内容
课本107页例2
教学
目标
知识与技能：通过图形直观的表征，让学生更加清晰求的都是同一个阴影部分的面积。从而让学生直观地看到了加减法算式之间的联系，越来越接近1，感悟极限思想。
过程与方法：培养学生利用图形来分析问题、解决问题的意识和能力。
情感、态度与价值观：重视利用图形来分析题意，理清思路，提高解决问题的能力.
教学重点
借助“形”（面积模型、线段图、直角坐标系等）感受与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决问题是重点。
教学难点
从图形中总结规律及让学生体会极限思想。
教学方法
引导发现法、自主探究法。
教学准备
课件
教学过程
教学预设
个性修改
导
入
部
分
一、看谁算得又快又对。
二、揭示课题
同学们，上节课我们探究了图形中隐藏着数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。（板书课题：数与形）
探
究
新
知
二、探索发现，学习新知
（一）教师与学生比赛算题
1．教师：你知道等于多少吗？（学生：）
教师：那等于多少呢？（学生计算需要时间）教师紧接着说：我已经算好了，是，不信你算算。
2．只要按照这个分子是1，分母依次扩大2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？
学生出题。预设：
，
，
，
，
……
在学生出题后，老师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。
3．知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们也想知道吗？
【设计意图】一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次老师胜利，使学生产生好奇心，再通过教师幽默的语言，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲。另一方面，为接下来学习例题做好铺垫。
（二）借助正方形探究计算方法
1．这件法宝就是（师边说边课件出示一个正方形），让我们来把它变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。
2．进行演示讲解。
（1）演示：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂红），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黄）。
想一想：正方形中表示的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？（）那么涂色部分还可以怎么算呢？（），也就是说。
（2）继续演示，谁知道除了通分，还可以怎么算？
根据学生回答，板书。
（3）演示：那么计算就可以得到？（）。
3．看到这儿，你发现什么规律了吗？
4．小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。
5．这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？
6．尝试练习：
；
；
。
【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，转难为易，引导学生探索数与图形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。
（三）知识提升，探索发现
1．感受极限。
（1）刚才我们已经从一直加到了，如果我继续加，加到，得数等于？（）再接着加，一直加到，得数等于？（）随着不断继续加，你发现得数越来越？（大）无数个这样的数相加，和会是多少呢？
（2）这时候你心中有没有一个大胆的猜想？（学生猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了。）
（3）想象一下，如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色，那空白部分的面积就越来越？（小）而涂色部分的面积越来越接近？（1）也就是求和的得数越来越接近？（1）最终得数是1吗？你有什么方法来证明得数就是1？
（学情预设：学生提出书本的圆形图和线段图，若没有学生提出，教师自己提出。）
2．利用线段图直观感受相加之和等于“1”。
（1）书本上有两幅图，我们一起来看看（课件出示）。一幅是圆形图，一幅是线段图，你能看懂它的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。
（2）学生看书思考。
（3）全班交流，课件演示，得出结论：这些分数不断加下去，总和就是1。
【设计意图】利用数与形的结合，让学生直观体会极限数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生学习兴趣，培养学生探索新知的精神。
3．课堂小结。
对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法，你有什么感受？
教师小结：是的，“数”与“形”有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时，你会发现许多难题的解决变得很简单。
4．举一反三。
其实在以前的学习中，我们也常用到数形结合的数学方法帮助我们解题，你能想到些例子吗？（如学生有困难，教师举例：一年级加法，分数的认识，复杂的路程问题线段图等。）
【设计意图】让学生体会“数形结合”是数学学习中常用的方法。
师：听了同学们的汇报，从同学们画的这些图中我们可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1。对于这种借助画图来帮助我们理解问题的方法，你有什么感受？
生：有些问题通过画图，解决起来更直观。
师：在我们解决数学问题时，常用的数学方法中数形结合思想是最直观也是最美妙的。数和形有着十分密切的联系，在一定条件下可以互相转化，互相渗透。正如我国著名数学家华罗庚所说，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
拓
展
应
用
三、练习巩固
1．基础练习。
（1）学生独立计算。
（2）全班交流反馈。
【设计意图】通过练习，回顾新知，巩固新知，使学生对新知识掌握得更扎实。
2．小林、小强、小芳、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2盘，小兵下了1盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？
解决问题：
（1）全班读题，学生独立思考。
（2）指名回答。
（3）根据学生回答情况，连线（课件演示）。
（4）结合连线图得出：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。
【设计意图】让学生进一步体会数形结合的直观性和变难为易的特点。
总
结
回
顾
四、课堂总结
快下课了，请你来说说这节课有什么收获？
作
业
布
置
1、你能用所学的知识解决下列问题吗？
（1）学生独立计算。
（2）全班交流反馈。
2．小林、小强、小芳、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2盘，小兵下了1盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？
板
书
设
计
数与形
数缺形时少直观，
形少数时难入微，
数形结合百般好，
隔离分家万事休
