2.2.2 反证法 课件1
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课件37张PPT。2.2.2 反证法 自主学习 新知突破1．了解反证法是间接证明的一种方法．
2．理解反证法的思维过程，并会用反证法证明简单的数学问题．1．[问题] A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A，B都撒谎．则C必定是在撒谎，为什么？
[提示] 假设C没有撒谎，则C真．那么A假且B假；由A假，知B真．这与B假矛盾．那么假设C没有撒谎不成立；则C必定是在撒谎．
2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．
[问题1] 你能利用综合法和分析法证明该问题吗？
[提示1] 不能．
[问题2] a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？
[提示2] 都是奇数．假设原命题__________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法．定义 不成立假设错误原命题成立反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与________矛盾，或与_______、公理、定理、事实矛盾等．反证法常见的矛盾类型 已知条件假设定义反证法的实质及注意事项
(1)反证法的实质
反证法不直接证明命题，而是从原命题的反面入手，合乎逻辑地推出一个矛盾结果，由于两个相互矛盾的判断必有一真一假，由此肯定命题“若p则q”为真．
(2)注意事项
①用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的过程毫无意义．
②反证法的“归谬”要合理．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
解析： 由反证法定义可知①②③正确．
答案： C2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
解析： “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b 都不能被5整除”．
答案： B3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析： 由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.
答案： ③①②合作探究 课堂互动 用反证法证明否(肯)定式命题 平面上有四个点，假设无三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
[思路点拨] 1.结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．
(3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 用反证法证明唯一性问题 已知a与b是异面直线．求证：过a且平行于b的平面只有一个．
[思路点拨] 这是一个唯一性问题，直接证明较困难，宜用反证法． 如图，假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α，β分别交于过点A的直线c，d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立． 用反证法证明唯一性命题的适用类型
(1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了．
(2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用．
特别提醒：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个问题，即存在性问题和唯一性问题．2．已知：一点A和平面α.
求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
证明： 根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．
(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，
a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．所以AB⊥BC，AC⊥BC.
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直．用反证法证明“至多”“至少”存在性问题 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
[思路点拨] 结论中有词语“至少”，宜采用反证法，注意“至少有一个”的否定形式为“一个也没有”．
所以AB⊥BC，AC⊥BC.
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直． 1.当命题出现“至多”“至少”等形式时，适合用反证法．
2．常见的“结论词”与“反设词”
◎用反证法证明命题“a，b为整数，若a·b不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为________．
【错解】 a，b不都是偶数
【错因】 应用反证法时，假设错误
a，b不都是偶数包括的情况有：
①a是偶数，b是奇数；②a是奇数，b是偶数；③a是奇数，b是奇数．
注意否定的结论是不是结论的对立面，“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”，它的反面是“a，b不都是奇数”．
【正解】 a，b不都是奇数高效测评 知能提升 完成练习册作业谢谢观看！
2．理解反证法的思维过程，并会用反证法证明简单的数学问题．1．[问题] A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A，B都撒谎．则C必定是在撒谎，为什么？
[提示] 假设C没有撒谎，则C真．那么A假且B假；由A假，知B真．这与B假矛盾．那么假设C没有撒谎不成立；则C必定是在撒谎．
2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．
[问题1] 你能利用综合法和分析法证明该问题吗？
[提示1] 不能．
[问题2] a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？
[提示2] 都是奇数．假设原命题__________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法．定义 不成立假设错误原命题成立反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与________矛盾，或与_______、公理、定理、事实矛盾等．反证法常见的矛盾类型 已知条件假设定义反证法的实质及注意事项
(1)反证法的实质
反证法不直接证明命题，而是从原命题的反面入手，合乎逻辑地推出一个矛盾结果，由于两个相互矛盾的判断必有一真一假，由此肯定命题“若p则q”为真．
(2)注意事项
①用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的过程毫无意义．
②反证法的“归谬”要合理．1．应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
解析： 由反证法定义可知①②③正确．
答案： C2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
解析： “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b 都不能被5整除”．
答案： B3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析： 由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.
答案： ③①②合作探究 课堂互动 用反证法证明否(肯)定式命题 平面上有四个点，假设无三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
[思路点拨] 1.结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．
(3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 用反证法证明唯一性问题 已知a与b是异面直线．求证：过a且平行于b的平面只有一个．
[思路点拨] 这是一个唯一性问题，直接证明较困难，宜用反证法． 如图，假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α，β分别交于过点A的直线c，d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立． 用反证法证明唯一性命题的适用类型
(1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了．
(2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用．
特别提醒：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个问题，即存在性问题和唯一性问题．2．已知：一点A和平面α.
求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
证明： 根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．
(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.
因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，
a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．所以AB⊥BC，AC⊥BC.
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直．用反证法证明“至多”“至少”存在性问题 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
[思路点拨] 结论中有词语“至少”，宜采用反证法，注意“至少有一个”的否定形式为“一个也没有”．
所以AB⊥BC，AC⊥BC.
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．
综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直． 1.当命题出现“至多”“至少”等形式时，适合用反证法．
2．常见的“结论词”与“反设词”
◎用反证法证明命题“a，b为整数，若a·b不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为________．
【错解】 a，b不都是偶数
【错因】 应用反证法时，假设错误
a，b不都是偶数包括的情况有：
①a是偶数，b是奇数；②a是奇数，b是偶数；③a是奇数，b是奇数．
注意否定的结论是不是结论的对立面，“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”，它的反面是“a，b不都是奇数”．
【正解】 a，b不都是奇数高效测评 知能提升 完成练习册作业谢谢观看！