2.3 数学归纳法 课件1

课件40张PPT。2．3　数学归纳法自主学习 新知突破1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．下图为多米诺骨牌：
如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？
[提示]　(1)处理第一个问题；(相当于推倒第一块骨牌)
(2)验证前一问题与后一问题有递推关系．(相当于前牌推倒后牌)一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
1．(归纳奠基)证明当n取___________ (n0∈N*)时命题成立；
2．(归纳递推)假设 ___________________时命题成立，证明当__________时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．第一个值n0n＝k(k≥n0，k∈N*)n＝k＋1上述证明方法叫做数学归纳法
可以用框图表示为：数学归纳法的应用及注意事项
(1)数学归纳法的应用范围是证明与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题，探求数列的通项及前n项和等．
(2)应用数学归纳法应注意：
①数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明．
②验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；
③在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为(　　)
A．1　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：　边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
答案：　C答案：　D
3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为__________　　　　　　　　　　　　.
解析：　当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.
答案：　1×4＋2×7…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)24．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n.
证明：　①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，
即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)．
则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1)
＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1)
＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右边，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由①②知，对一切n∈N*，命题成立．合作探究 课堂互动 用数学归纳法证明等式或不等式 [思路点拨]　 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．　 用数学归纳法证明几何问题 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析．在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．　 归纳—猜想—证明 “观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的解法
(1)观察：由已知条件写出前几项；
(2)归纳：找出前几项的规律，找到项与项数的关系；
(3)猜想：猜想出通项公式；
(4)证明：用数学归纳法证明猜想的形式，因为猜想不一定正确，所以要通过数学归纳法给出证明．　 3．数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N*)，
(1)求a1，a2，a3的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
解析：　(1)由2Sn＝a＋n得
当n＝1时，2a1＝a＋1，∴a1＝1.
当n＝2时，2S2＝a＋2，∴a2＝2.
当n＝3时，2S3＝a＋3，∴a3＝3.
猜想：数列{an}的通项公式为an＝n.【错因】　没有利用归纳假设进行证明．第(2)步，不可以直接利用等比数列的求和公式求出当n＝k＋1时式子的和，在证明n＝k＋1时，一定要利用“归纳假设”．高效测评 知能提升 完成练习册作业谢谢观看！