3.2.2 复数代数形式的乘除运算 课件1

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复数代数形式的乘除运算1．复数代数形式的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝
(a＋bi)(c＋di)＝____________________.(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
z2·z1z1z2＋z1z33.共轭复数
已知z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，则
(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是__________.
(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是_____________.
复数代数形式的除法法则：
(a+bi)÷(c+di)= __________________(c+di≠0).a=c且b=-da=c且b=-d≠01.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( )
(2)若z1，z2∈C，且z12+z22=0，则z1=z2=0.( )
(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.( )【解析】(1)错误.举反例：如复数2和2i，它们的模相等，
但不是共轭复数．
(2)错误.例如z1=1，z2=i，显然z12+z22=0，但z1≠z2≠0.
(3)正确.设两个共轭虚数分别为z1=a+bi， =a－bi
(a，b∈R，b≠0)，差z1－ =2bi(b≠0)为纯虚数.
答案：(1)× (2)× (3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)复数
(2)复数z＝(2－i)i在复平面内对应的点位于第_____象限.
(3)复数2- 的共轭复数是________.【解析】(1)
答案：
(2)z＝(2－i)i＝2i－i2＝1＋2i，故复数z＝(2－i)i在
复平面内对应的点为(1，2)，位于第一象限．
答案：一
(3)因为2- ＝2+i，所以其共轭复数为2－i.
答案：2－i【要点探究】
知识点1 复数代数形式的乘除运算
1.复数的乘法
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论：
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.2．对复数除法的两点说明
(1)实数化：
①在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成
商的形式，即(a＋bi)÷(c＋di)＝
②分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得
结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的
分母“有理化”很类似．
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．【知识拓展】复数乘法的推广
复数的乘法可以推广到若干个因式连乘，且满足乘法的交换律、结合律、分配律.【微思考】
(1)a∈R，z∈C，a2＝|a|2与z2＝|z|2都成立吗？
提示:a2＝|a|2成立；z2＝|z|2不一定成立．
例如z＝i，z2＝－1，|z|2＝1，z2≠|z|2.
(2)z2＝|z|2成立的条件是什么？
提示:当且仅当z∈R时，z2＝|z|2成立．【即时练】
若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝( )
A．1＋3i B．3＋3i
C．3－i D．3
【解析】选A.因为z＝1＋i，所以(1＋z)·z＝(2＋i)(1＋i)
＝1＋3i.知识点2 共轭复数
1.共轭复数的注意点
(1)结构特点：实部相等，虚部互为相反数.
(2)几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴
对称.
2.共轭复数的性质
(1)实数的共轭复数是它本身，即z∈R
(2)相关结论：【微思考】
(1)若z≠0且z＋ ＝0，则z是否为纯虚数？
提示:是纯虚数，因为z≠0，又实数的共轭是它本身，则由
z≠0且z＋ ＝0知z不是实数，设z1=a+bi， =a－bi(a，b∈R)，
和z1+ =2a=0，故z为纯虚数.利用这个性质，可证明一个
复数为纯虚数．
(2)复数共轭的共轭是否为复数本身？
提示:根据复数的概念，复数共轭的共轭是复数本身.【即时练】
若 则复数 等于( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
【解析】选D.由
故 =2＋i. 【题型示范】
类型一 复数代数形式的乘法运算
【典例1】
(1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi-y=-1+i，则(1+i)x+y的
值为( )
A.2 B.-2i C.-4 D.2i
(2)已知复数 (i为虚数单位)，复数z2的虚部
为2，且z1·z2是实数，求z2.【解题探究】1.如何求解x+y？
2.z1的代数形式如何？z1·z2的虚部是多少？
【探究提示】1.利用复数相等.
2. 的虚部为0.【自主解答】(1)选D.由xi-y=-1+i，得x=1，y=1，
所以(1+i)x+y=(1+i)2=2i.
(2)
设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝
(2a＋2)＋(4－a)i，
因为z1z2∈R，所以a＝4，所以z2＝4＋2i.【方法技巧】复数的乘法运算法则的应用
(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如，平方差公式、完全平方公式等．【变式训练】定义一种运算如下：
复数 (i是虚数单位)对应
的复数是( )
【解析】选A.由题意，得
【警示误区】注意分析新定义的运算规则中字母的顺序.【补偿训练】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，
则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为___________.
【解析】因为(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i为实数，所以n2=m2，
故m=n，则由列举法得出投掷结果共有36种可能，相同点数的
有6种，则概率为
答案：类型二 复数代数形式的除法运算
【典例2】(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别
是 则复数 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)计算：①
②【解题探究】1.复数z1，z2的代数形式为什么？
2.观察式子的特征，应如何计算？
【探究提示】1.由复数的几何意义知，z1=－2－i，z2=i.
2.第一个式子分子复杂，第二个式子分母复杂，可先化简再运算.【自主解答】(1)选B.由复数的几何意义知，z1=－2－i，
z2=i，所以 对应的点在第二象限.【方法技巧】复数除法运算法则的应用
复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.【变式训练】i为虚数单位， =( )
A.1　　　B.-1　　　C.i　　　D．-i
【解析】选B.　【补偿训练】已知复数z=1-i，则 =( )
A．2i B．-2i C．2 D．-2
【解析】选B.将z=1-i代入 得，类型三 共轭复数
【典例3】(1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为
虚数单位)，则z的共轭复数 为( )
A.2+i B.2-i C.5+i D.5-i
(2)已知复数z的共轭复数为 且 求z.【解题探究】1.如何依据题中等式计算z-3的表达式？
2.复数z的代数表达式如何？如何求复数z的实部与虚部？
【探究提示】1.
2.复数z的代数表达式为a+bi(a，b∈R)，可用复数相等的方法
建立a，b的方程组，求解a，b.【自主解答】(1)选D.因为(z-3)(2-i)=5，
所以 所以
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
又
所以a2＋b2－3i(a＋bi)＝
所以a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
所以 所以
所以z＝－1，或z＝－1－3i.【方法技巧】化复为实
当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．【变式训练】已知复数z=2-i，则z· 的
值为( )
A.5　　　B. 　　　C.3　　　D.
【解题指南】求出复数z的共轭复数，代入表达式求解即可.
【解析】选A.由已知得 =2+i，则z· =(2-i)(2+i)=22-i2=5，
故A正确.【补偿训练】复数 的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C.第三象限 D．第四象限
【解析】选A.因为
所以其共轭复数为 对应的点为 故选A.【拓展类型】复数的正整数指数幂的应用
【备选例题】(1)复数
的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)设 (i是虚数单位)，求z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6.【解析】(1)选C.
所以 其对应的点在第三象限.
(2)设S=z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6，zS=z2+2z3+3z4+4z5+5z6+6z7，
两式相减得，(1-z)S=z+z2+z3+z4+z5+z6-6z7=
所以
因为 故z6=1，所以【方法技巧】复数的正整数指数幂的应用
(1)求和公式：等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍
适用，i的周期性要记熟，
即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．
(2)熟记结论：记住以下结果，可提高运算速度．
①i4n-3＝i，i4n-2＝-1，i4n-1＝－i，i4n＝1(n∈N*)【类题试解】已知a，b∈R，i是虚数单位.
若(a+i)(1+i)=bi，求a+bi.
【解析】因为(a+i)(1+i)=a－1+(a+1)i=bi，所以a－1=0，
a+1=b，即a=1，b=2，所以a+bi=1+2i.