2.1.1 合情推理 同步练习1（含答案）

2.1.1 合情推理 同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　)
A． B．△
C．? D．○
[答案]　A
[解析]　观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．
2．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an＝(　　)
A．2n－2－　　　 　 B．2n－2
C．2n－1＋1 D．2n＋1－4
[答案]　B
[解析]　∵a1＝0＝21－2，
∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，
a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
……
猜想an＝2n－2.故应选B.
3．数列{an}：2，5，11，20，x，47，…中的x等于(　　)
A．28 B．32
C．33 D．27
[答案]　B
[解析]　因为5－2＝3×1，11－5＝6＝3×2，20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4，47－x＝3×5，推知x＝32.故应选B.
4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
[答案]　C
[解析]　从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.21·cn·jy·com
5．图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含________个互不重叠的单位正方形．(　　)www.21-cn-jy.com
A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1
C．2n2＋2 D．2n2－n＋1
[答案]　B
[解析]　观察题中给出的四个图形，图(1)共有12个正方形，图(2)共有12＋22个正方形；图(3)共有22＋32个正方形；图(4)共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．
6．n个连续自然数按规律排列下表：
01234567891011…
根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为(　　)
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
[答案]　C
[解析]　观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到2012为↑→，故应选C.
二、填空题
7．观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
……
由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________.21世纪教育网版权所有
[答案]　(－1)n＋1
[解析]　注意到第n个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n＝＝，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n＋1.21cnjy.com
8．观察下列等式：
(1＋1)＝2×1；
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；
(3＋1)( 3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5；
……
照此规律，第n个等式可为__________________________________．
[答案]　(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
[解析]　观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n＋1到n＋n，等式右端是2n与等差数列{2n－1}前n项的乘积，故第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
9．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．
[答案]　S＝4(n－1)(n≥2)
[解析]　每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S＝4(n－1)(n≥2)．
三、解答题
10．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
2cos＝，
2cos＝，
2cos＝，
……
[证明]　2cos＝2·＝
2cos＝2＝2·＝
2cos＝2
＝2＝
…
观察上述等式可以发现，第n个等式右端有n个根号，n个2，左端“角”的分母为22，23，24，…，故第n个等式的左端应为2cos，由此可归纳出一般性的结论为：2·1·c·n·j·y
2cos＝
能力拓展提升
一、选择题
11．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an等于(　　)www-2-1-cnjy-com
A． B．
C． D．
[答案]　B
[解析]　因为Sn＝n2an，a1＝1，
所以S2＝4a2＝a1＋a2?a2＝＝，
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝＝＝，
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4
?a4＝＝＝.
所以猜想an＝，故应选B.
12．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)21教育网
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
[答案]　D
[解析]　本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查．
13．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，2-1-c-n-j-y
试求第七个三角形数是(　　)
A．27 B．28
C．29 D．30
[答案]　B
[解析]　观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝个，∴第七个三角形数为＝28.
二、填空题
14．下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n个图有________个原子，有________个化学键．【来源：21·世纪·教育·网】
[答案]　4n＋2，5n＋1
[解析]　第1、2、3个图形中分别有原子个数为6，6＋4，6＋4×2，故第n个图形有原子6＋4×(n－1)＝4n＋2个．21*cnjy*com
第1、2、3个图形中，化学键个数依次为6、6＋5、6＋5×2、…
∴第n个图形化学键个数为
6＋5×(n－1)＝5n＋1.
15．观察下列不等式：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为____________________________．
[答案]　1＋＋＋＋＋<
[解析]　本题考查了归纳的思想方法．
观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1＋＋＋…＋<，
所以第五个不等式为：
1＋＋＋＋＋<.
16．(2013·新疆兵团二师华山中学高二期中)在△ABC中，不等式＋＋≥成立，
在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立，
在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中，有不等式__________________________成立．
[答案]　＋＋…＋≥ (n≥3)
[解析]　根据已知特殊的数值：、、，…，总结归纳出一般性的规律：(n≥3)．
∴在n边形A1A2…An中：＋＋…＋≥(n≥3)．
三、解答题
17．已知等式sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝，sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．【来源：21cnj*y.co*m】
[解析]　等式为sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝.证明如下：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)
＝sin2α＋＋sinα(cos30°·cosα－sin30°·sinα)＝＋sin2α＋＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(cos2α－sin2α)＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋cos2α－sin2α＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(1－2sin2α)＝.21·世纪*教育网