2.1.1 合情推理 同步练习2（含答案）

2.1.1 合情推理 同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．下面几种推理是合情推理的是(　　)
①由圆的性质类比出球的有关性质
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)
A．①②　　　　　　　 B．①③④
C．①②④ D．②④
[答案]　C
[解析]　①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．
2．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(　　)21世纪教育网版权所有
A．a　 B．a　
C．a　 D．a
[答案]　B
[解析]　将正三角形一边上的高a类比到正四面体一个面上的高a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．【来源：21cnj*y.co*m】
3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[答案]　B
[解析]　根据立体几何中线面之间的位置关系知，②③是正确的结论．
4．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝(　　)【出处：21教育名师】
A． B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体P－ABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.21教育名师原创作品
证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，∴r＝.
5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”；
③若“a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”．其中类比结论正确的个数是(　　)
A．0　　　 B．1　　　
C．2　　　 D．3
[答案]　C
[解析]　在实数集中，a>b?a－b>0，但在复数集中，不全为实数的两个数不能比较大小，如a＝2＋i，b＝1＋i，有a－b＝1>0，但a>b不成立；∵a、b、c、d∈Q，∴a－c，b－d∈Q，∵a＋b＝c＋d，∴(a－c)＋(b－d)＝0，∴，∴，故②正确；由复数相等的定义知，若a＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，b＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，则由a－b＝(x1－x2)＋(y1－y2)i＝0?，∴，∴a＝b，故③正确．www-2-1-cnjy-com
6．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
其中类比结论正确的个数是(　　)
A．1　　　 B．2　　　
C．3　　　 D．4
[答案]　B
[解析]　由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.
二、填空题
7．设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．【版权所有：21教育】
[答案]　3
[解析]　本题是“方法类比”．因等比数列前n项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]，21*cnjy*com
而当x1＋x2＝1时，有f(x1)＋f(x2)＝＋
＝＝
＝＝，故所求答案为6×＝3.
8．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________成立．
[答案]　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)
[解析]　解法1：从分析所提供的性质入手：由a10＝0，可得ak＋a20－k＝0，因而当n<19－n时，有a1＋a2＋…＋a19－n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n，
而an＋1＋an＋2＋…＋a19－n＝＝0，∴等式成立．同理可得n>19－n时的情形．
由此可知：等差数列{an}之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：an＋1＋a19－n＝2a10＝0，类似地，在等比数列{bn}中，也有性质：bn＋1·b17－n＝b＝1，因而得到答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．
解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，故在等比数列{bn}中，由b9＝1，可知应有“积”的性质b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立. (1)
证明如下：当n＜8时，等式(1)为b1b2…bn＝b1b2…bnbn＋1…b17－n，
即：bn＋1·bn＋2…b17－n＝1.(2)
∵b9＝1，∴bk＋1·b17－k＝b＝1.
∴bn＋1bn＋2…b17－n＝b＝1.
∴(2)式成立，即(1)式成立；
当n＝8时，(1)式即：b9＝1显然成立；
当8＜n＜17时，(1)式即：
b1b2…b17－n·b18－n·…bn＝b1b2…b17－n，
即：b18－n·b19－n…bn＝1(3)
∵b9＝1，∴b18－k·bk＝b＝1，
∴b18－nb19－n·…·bn＝b＝1，
∴(3)式成立，即(1)式成立．
综上可知，当等比数列{bn}满足b9＝1时，有：
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立．
9．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，前n项积为Tn，类比等差数列的性质，填写等比数列的相应性质(m，n，k，w∈N*).21教育网
等差数列
等比数列
an＝a1＋(n－1)d
an＝am＋(n－m)d
若m＋n＝k＋w，则am＋an＝ak＋aw
若m＋n＝2w，则am＋an＝2aw
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列
[答案]　an＝a1qn－1　an＝amqn－m　若m＋n＝k＋w，则aman＝ak·aw　若m＋n＝2w，则am·an＝a　Tn，，构成等比数列
三、解答题
10．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．
(1)已知a、b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab＋1>a＋b.
(2)已知a、b、c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.
[解析]　(1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.
(2)∵|a|<1，|b|<1，|c|<1，据(1)得(ab)·c＋1>ab＋c，
∴abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.
[点评]　(1)与(2)的条件与结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：(ab)·c＋1＞ab＋c是关键．21·cn·jy·com
用归纳推理可推出更一般的结论：ai为实数，|ai|＜1，i＝1、2、…、n，则有：a1a2…an＋(n－1)＞a1＋a2＋…＋an.www.21-cn-jy.com
能力拓展提升
一、选择题
11．下列类比推理恰当的是(　　)
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
[答案]　D
[解析]　选项A，B，C没有从本质属性上类比，是简单类比，从而出现错误．
12．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)
A． B．
C．－1 D．＋1
[答案]　A
[解析]　如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则F(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，
∴＝(c，b)，＝(－a，b)，
又∵⊥，∴·＝b2－ac＝0，
∴c2－a2－ac＝0，
∴e2－e－1＝0，
∴e＝或e＝(舍去)，
故应选A.
13．类比三角形中的性质：
(1)两边之和大于第三边
(2)中位线长等于底边长的一半
(3)三内角平分线交于一点
可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点
其中类比推理方法正确的有(　　)
A．(1) B．(1)(2)
C．(1)(2)(3) D．都不对
[答案]　C
[解析]　以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．21cnjy.com
二、填空题
14．若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an.由类比推理可得：在等比数列{bn}中，若其前n项的积为Pn，则P2n－1＝________.2·1·c·n·j·y
[答案]　b
[解析]　将等差数列前n项和类比到等比数列前n项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”．因为等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an.所以类比可得：在等比数列{bn}中，若其前n项的积为Pn，则P2n－1＝b.【来源：21·世纪·教育·网】
15．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为________．
[答案]　S＝S△OBC·S△DBC
[解析]　将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S＝S△OBC·S△DBC.21·世纪*教育网
16．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0， y0)，则圆的面积S圆＝πr2，过点P的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.在椭圆＋＝1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆＝________.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为________．2-1-c-n-j-y
[答案]　πab　·x＋·y＝1
[解析]　当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a·b，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x0·x＋y0·y＝r2变形得·x＋·y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为·x＋·y＝1，其严格证明可用导数求切线处理．
三、解答题
17．点P在圆C：x2＋y2＝1上，经过点P的圆的切线方程为x＋y＝1，又点Q(2，1)在圆C外部，容易证明直线2x＋y＝1与圆相交，点R在圆C的内部．直线x＋y＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P(a，b)与圆x2＋y2＝r2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？21*cnjy*com
[解析]　点P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上时，直线ax＋by＝r2与⊙C相切；点P在⊙C内时，直线ax＋by＝r2与⊙C相离；点P在⊙C外部时，直线ax＋by＝r2与⊙C相交．容易证明此结论是正确的．
18．我们知道：
12＝　　　　　　　　 1，
22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，
32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，
42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，
……
n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，
左右两边分别相加，得
n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n
∴1＋2＋3＋…＋n＝.
类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．
[解析]　我们记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，
S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈N*)．
已知
13＝　　　　　　　　　　　　 1，
23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，
33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，
43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，
……
n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.
将左右两边分别相加，得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.
由此知S2(n)＝＝＝.