2.1.1 类比推理 教案
图片预览
文档简介
2.1.1 类比推理 教案
●教学目标：
通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问
题的发现中去.
●教学重点：
了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理.
●教学难点：
用类比进行推理，做出猜想.
●教具准备：
与教材内容相关的资料.
●教学设想：
类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.
●教学过程：
学生探究过程：
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.21世纪教育网版权所有
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
数学活动
我们再看几个类似的推理实例.
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质.
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=b?a+c=b+c； (1) a＞b?a+c＞b+c；
(2) a=b? ac=bc； (2) a＞b? ac＞bc；
(3) a=b?a2=b2；等等. (3) a＞b?a2＞b2；等等.
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试根据等差数列的性质猜想等比数列的性质.
等差数列 等比数列
an-an-1=d(n?2，n?N)
an=a1+(n-1)d an=a1?qn-1
an=(n?2，n?N) an2=(n?2，n?N)
设问1：观察上述公式，等差数列、等比数列相关公式的对应运算法则规律是什么？
设问2：如何分析表达式结构特征？
设问3：类比对象是什么？
三角形与三棱柱.属于平面图形性质与空间图形性质的类比.
设问4：类比属性有哪些？如何从几何要素角度进行分析？(板书)：
三角形 三棱柱
面 积 体 积
边 面
线段长 面 积
平面角 二面角
由此，可类比猜测本题的答案(板书)：
设问5：本题中，类比对象各是什么？
等差数列与等比数列性质的类比.
设问6：类比结论的结构特点是什么？
(板书) 等差数列 a10=0
左：前n项和 右：前19?n项和 2?10-1-n=19-n
设问7：项数10、n、19-n之间的关系如何确定？
19-n=2?10-1-n
等比数列 b9=1
左：前n项积 右：前17?n项积
2?9-1-n=17-n
b1b2?bn=b1b2?b17-n (n<17，n?N)
设问8：如何证明猜想等式成立？
常见两种证法：
1、等式左右两边分别用通项公式代入，转化为首项和公比的关系；
2、不妨设17-n>n，
b1b2?bn=b1b2?bnbn+1bn+2?b16-nb17-n
由bn+1b17-n=bn+2b16-n=?=b92=1
可得结论成立.
设问9：对类比推理有了一定的体验.
例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
☆上述两个例子均是这种由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．21教育网
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
总结提升
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物间的共同或相似性质.类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.21cnjy.com
2.类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想.即
反馈练习：
1. 下列推理过程是类比推理的为（ B ）
A. 人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为
B. 科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C. 通过检验溶液的值得出溶液的酸碱性
D. 数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
2. 下列说法正确的是（ D ）
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是归纳推理
C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程
3. 三角形的面积为为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为 （ C ）21·cn·jy·com
A．
B.
C． （分别为四面体的四个面的面积，为四面体内接球的半径）
D．
4．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
三个面两两垂直的四面体
三个边的长度、、
四个面的面积、、、
两条直角边、和一条斜边
三个直角面、、和一个斜面
5. 半径为的圆的面积，周长，若将看作上的变量，则. ①
①可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.
对于半径为的球，若将看作上的变量，请你写出类似于①的式子：
. ②
②可用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的面积函数.
●教学目标：
通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问
题的发现中去.
●教学重点：
了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理.
●教学难点：
用类比进行推理，做出猜想.
●教具准备：
与教材内容相关的资料.
●教学设想：
类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.
●教学过程：
学生探究过程：
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.21世纪教育网版权所有
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
数学活动
我们再看几个类似的推理实例.
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质.
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=b?a+c=b+c； (1) a＞b?a+c＞b+c；
(2) a=b? ac=bc； (2) a＞b? ac＞bc；
(3) a=b?a2=b2；等等. (3) a＞b?a2＞b2；等等.
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试根据等差数列的性质猜想等比数列的性质.
等差数列 等比数列
an-an-1=d(n?2，n?N)
an=a1+(n-1)d an=a1?qn-1
an=(n?2，n?N) an2=(n?2，n?N)
设问1：观察上述公式，等差数列、等比数列相关公式的对应运算法则规律是什么？
设问2：如何分析表达式结构特征？
设问3：类比对象是什么？
三角形与三棱柱.属于平面图形性质与空间图形性质的类比.
设问4：类比属性有哪些？如何从几何要素角度进行分析？(板书)：
三角形 三棱柱
面 积 体 积
边 面
线段长 面 积
平面角 二面角
由此，可类比猜测本题的答案(板书)：
设问5：本题中，类比对象各是什么？
等差数列与等比数列性质的类比.
设问6：类比结论的结构特点是什么？
(板书) 等差数列 a10=0
左：前n项和 右：前19?n项和 2?10-1-n=19-n
设问7：项数10、n、19-n之间的关系如何确定？
19-n=2?10-1-n
等比数列 b9=1
左：前n项积 右：前17?n项积
2?9-1-n=17-n
b1b2?bn=b1b2?b17-n (n<17，n?N)
设问8：如何证明猜想等式成立？
常见两种证法：
1、等式左右两边分别用通项公式代入，转化为首项和公比的关系；
2、不妨设17-n>n，
b1b2?bn=b1b2?bnbn+1bn+2?b16-nb17-n
由bn+1b17-n=bn+2b16-n=?=b92=1
可得结论成立.
设问9：对类比推理有了一定的体验.
例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
☆上述两个例子均是这种由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．21教育网
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
总结提升
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物间的共同或相似性质.类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.21cnjy.com
2.类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想.即
反馈练习：
1. 下列推理过程是类比推理的为（ B ）
A. 人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为
B. 科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C. 通过检验溶液的值得出溶液的酸碱性
D. 数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
2. 下列说法正确的是（ D ）
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是归纳推理
C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程
3. 三角形的面积为为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为 （ C ）21·cn·jy·com
A．
B.
C． （分别为四面体的四个面的面积，为四面体内接球的半径）
D．
4．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
三个面两两垂直的四面体
三个边的长度、、
四个面的面积、、、
两条直角边、和一条斜边
三个直角面、、和一个斜面
5. 半径为的圆的面积，周长，若将看作上的变量，则. ①
①可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.
对于半径为的球，若将看作上的变量，请你写出类似于①的式子：
. ②
②可用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的面积函数.