2.2.1 分析法 同步练习（含答案）

2.2.1 分析法 同步练习
基础巩固训练
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.已知a，b，c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3，Q=2(a+b+c)，则P与Q的大小关系是(　　)www-2-1-cnjy-com
A.P>Q B.P≥Q
C.P【解析】选A.要比较P，Q的大小，只需比较P-Q与0的关系，
因为P-Q=a2+b2+c2+3-2(a+b+c)
=a2-2a+1+b2-2b+1+c2-2c+1
=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2，
又a，b，c不全相等，
所以P-Q>0，即P>Q.
2.设x>0，y>0，A=，B=+，则A，B的大小关系为(　　)
A.A>B B.A≥B
C.A【解题指南】可考虑用作差法比较大小，同时注意分子、分母间的关系.
【解析】选C.A-B=+<0，故A3.要证：a2+b2-1-a2b2≤0，只要证明(　　)
A.2ab-1-a2b2≤0
B.a2+b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
【解析】选D.(a2-1)(b2-1)≥0?a2+b2-1-a2b2≤0.
4.设a，b，c，d∈R+，若a+d=b+c且|a-d|<|b-c|，则有
(　　)
A.ad=bc B.adC.ad>bc D.ad≤bc
【解题指南】可考虑用分析法去解决.
【解析】选C.|a-d|<|b-c|?(a-d)2<(b-c)2?a2+d2-2ad2bc?ad>bc.21世纪教育网版权所有
5.要使a2+b2-a2b2-1≤0成立的充要条件是(　　)
A.|a|≥1且|b|≥1
B.|a|≥1且|b|≤1
C.(|a|-1)(|b|-1)≥0
D.(|a|-1)(|b|-1)≤0
【解题指南】将不等式等价转化可得其充要条件.
【解析】选C.a2+b2-a2b2-1≤0?a2(1-b2)+(b2-1)≤0?(b2-1)(1-a2)≤0?(a2-1)(b2-1)≥0?(|a|-1)(|b|-1)≥0.21教育网
【举一反三】把本题中的“充要条件”改为“充分不必要条件”，应选(　　)
【解析】选A.因为a2+b2-a2b2-1≤0?(|a|-1)(|b|-1)≥0?或
6.设甲：函数f(x)=|x2+mx+n|有四个单调区间，乙：函数g(x)=lg(x2+mx+n)的值域为R，那么甲是乙的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.以上均不对
【解析】选A.对甲，要使f(x)=|x2+mx+n|有四个单调区间，只需要Δ=m2-4n>0即可；对乙，要使g(x)=lg(x2+mx+n)的值域为R，只需要u=x2+mx+n的值域包含区域(0，+∞)，只需要Δ≥0，即m2-4n≥0，所以甲是乙的充分不必要条件.21·cn·jy·com
【举一反三】把本题改为：甲：函数f(x)=x3+mx2+nx+p有三个单调区间；乙：函数g(x)=lg(x2+mx+n)定义域为R，则甲是乙的_______________条件.21*cnjy*com
【解析】对甲，f′(x)=x2+mx+n，要使甲成立，只要f′(x)=x2+mx+n有两个零点，即m2-4n>0，对乙，要使乙成立，只要x2+mx+n>0恒成立，即Δ=m2-4n<0，所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
答案：既不充分也不必要
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________.
【解析】要使a>b成立，
只需(a)2>(b)2，
只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.
答案：a>b>0
8.已知a，b∈R+，且+=1，使得a+b≥u恒成立的u的取值范围是________.
【解析】a+b=·(a+b)
=10++≥10+2=16.
当且仅当=，即3a=b时取等号，
若a+b≥u恒成立，则u≤16.
答案：(-∞，16]
9.设a>0，b>0，c>0，若a+b+c=1，则++的最小值为________.
【解析】根据条件可知，欲求++的最小值.
只需求(a+b+c)的最小值，
因为(a+b+c)
=3+++≥3+2+2+2=9(当且仅当a=b=c时取“=”).
答案：9
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2+b2+c2≥4S.
【证明】要证a2+b2+c2≥4S，
只要证a2+b2+(a2+b2-2abcosC)≥2absinC，
即证a2+b2≥2absin(C+30°)，
因为2absin(C+30°)≤2ab，
只需证a2+b2≥2ab.
显然上式成立.所以a2+b2+c2≥4S.
11.若0y-y2<.
【证明】因为0所以>=，
要证：>y-y2成立.
只需证>y-y2成立.
只需证>1-y成立(因为y>0).
即证1-y2<1，即证y2>0.
y2>0显然成立，
故原不等式成立.
【变式训练】已知a，b为正数，求证：+≥+.
【证明】因为a>0，b>0，所以·>0，
所以欲证+≥+，
即证：≥+.
只要证a+b≥a+b.
只要证(a+b)2≥(a+b)2，
即证a3+b3+2ab≥a2b+2ab+ab2，
只要证a3+b3≥ab(a+b).
只要证a2+b2-ab≥ab，
即证(a-b)2≥0.
上式显然成立.
所以原不等式成立.
能力提升训练
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.m=+，n=+(a≥0)，则有(　　)
A.mC.m>n D.不能确定
【解析】选A.要比较m，n的大小，可比较m2=2a+5+2，n2=2a+5+2，
只要比较a2+5a与a2+5a+6的大小.
因为a2+5a+6>a2+5a，
所以+<+(a≥0)，即m2.设a，b，m都是正整数，且aA.<<1 B.≥
C.≤≤1 D.1<<
【解析】选B.可证明<成立，要证明<，
由于a，b，m都是正整数，故只需证ab+am3.下列不等式不成立的是(　　)
A.a2+b2+c2≥ab+bc+ca
B.+>(a>0，b>0)
C.-<-(a≥3)
D.+>2
【解析】选D.对A，因为a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca；www.21-cn-jy.com
对B，因为(+)2=a+b+2，()2=a+b，
所以+>；
对C，要证-<-(a≥3)成立，只需证明+< +，两边平方得2a-3+2<2a-3+2，21·世纪*教育网
即证<，两边平方得a2-3a因为0<2显然成立，所以原不等式成立；
对于D，(+)2-(2)2
=12+4-24=4(-3)<0，
所以+<2，故D错误.
4.当x∈(1，2)时，使不等式x2+mx+4<0恒成立的m的取值范围是(　　)
A.(-∞，5) B.(-∞，-5]
C.(3，+∞) D.[3，+∞)
【解题指南】可考虑运用变量分离法解题，同时注意利用函数的单调性.
【解析】选B.要使x2+mx+4<0恒成立，
只需m<-x-恒成立.
因为y=-在(1，2)上单调递增，
所以y∈(-5，-4)，
所以m≤-5.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5. a>b>c，n∈N*，且+≥恒成立，则n的最大值为________.
【解析】由a>b>c，得a-b>0，b-c>0，a-c>0，
要使+≥恒成立.
只需+≥n恒成立.
只需+≥n恒成立.
显然2++≥4(当且仅当b-c=a-b时等号成立).
所以只需n≤4成立，即n能取的最大值为4.
答案：4
6.如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形).2·1·c·n·j·y
【解析】可用分析法，要使A1C⊥B1D1，需使B1D1⊥平面AA1C1C，即需使AC⊥B1D1，或AC⊥BD或A1C1⊥B1D1或A1C1⊥BD.
答案：AC⊥BD(答案不唯一)
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知α，β≠kπ+，(k∈Z)且sinθ+cosθ=2sinα，sinθcosθ=sin2β.求证：=.2-1-c-n-j-y
【解题指南】利用切化弦以及三角基本关系式求解.
【证明】要证=成立，
即证=.
即证cos2α-sin2α=(cos2β-sin2β)，
即证1-2sin2α=(1-2sin2β)，
即证4sin2α-2sin2β=1，
因为sinθ+cosθ=2sinα，
sinθcosθ=sin2β，
所以(sinθ+cosθ)2
=1+2sinθcosθ=4sin2α，
所以1+2sin2β=4sin2α，
即4sin2α-2sin2β=1.
故原结论正确.
8.已知函数f(x)=tanx，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)+f(x2)]>f.【来源：21·世纪·教育·网】
【解题指南】本题从条件直接入手很难寻得思路，如果利用分析法，步步变形，问题极易解决.
【证明】要证[f(x1)+f(x2)]>f，
只需证(tanx1+tanx2)>tan，
只需证>，
只需证>，
只需证>，
只需证明0由x1，x2∈，且x1≠x2，
可知0即[f(x1)+f(x2)]>f.
【变式训练】设集合s={x|x∈R且|x|<1}，若s中定义运算a*b=.
求证：(1)如果a∈s，b∈s，那么a*b∈s.
(2)对于s中的任何元素a，b，c都有(a*b)*c=a*(b*c)成立.
【证明】(1)a∈s，b∈s，则|a|<1，|b|<1，
a*b=.
要证a*b∈s，
即证|a*b|=<1，
只需证|a+b|<|1+ab|，
即只需证(a+b)2<(1+ab)2，
即证(1-a2)(1-b2)>0，
因为|a|<1，|b|<1，
所以a2<1，b2<1，
所以(1-a2)(1-b2)>0成立，
所以a*b∈s.
(2)(a*b)*c=*c=.
同理a*(b*c)=a*=.
所以(a*b)*c=a*(b*c).