2.2.1 综合法和分析法 同步练习（含答案）

2.2.1 综合法和分析法 同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)www.21-cn-jy.com
A．锐角三角形　　　　　 B．直角三角形[
C．钝角三角形 D．不确定
[答案]　B
[解析]　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以，sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而sinA>0，∴sinA＝1，A＝，所以△ABC是直角三角形．2·1·c·n·j·y
2．已知x、y为正实数，则(　　)
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
[答案]　D
[解析]　2lg(xy)＝2(lgx＋lgy)＝2lgx·2lgy.
3．设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．1≤ab≤　　　 B．ab<1<
C．ab<<1 D．<1[答案]　B
[解析]　ab<2<(a≠b)．
4．设0A．a　　　 B．b　　　
C．c　　　 D．不能确定
[答案]　C
[解析]　因为b－c＝(1＋x)－＝＝－＜0，所以b2x>0，所以b＝1＋x>＝a，所以a[点评]　可用特值法：取x＝，则a＝1，b＝，c＝2.
5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(　　)
A．x<C．x<<2xy[答案]　D
[解析]　∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，则＝，2xy＝.所以有x<2xy<6．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．A≤B≤C　　　　 B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
[答案]　A
[解析]　≥≥，又函数f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，
∴f()≤f()≤f()．
二、填空题
7．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．
[答案]　m>n
[解析]　因为(＋)2＝a＋b＋2>a＋b>0，所以>，所以m>n.
8．设a＝，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小关系为________．
[答案]　a>c>b
[解析]　b＝，c＝，显然b而a2＝2，c2＝8－2＝8－<8－＝2＝a2，
所以a>c.
也可用a－c＝2－＝－>0显然成立，即a>c.
9．如果a＋b>a＋b，则实数a、b应满足的条件是________．
[答案]　a≠b且a≥0，b≥0
[解析]　a＋b>a＋b?a＋b－a－b>0?a(－)＋b(－)>0?(a－b)(－)>0?(＋)(－)2>021·cn·jy·com
只需a≠b且a，b都不小于零即可．
三、解答题
10．已知n∈N*，且n≥2，求证：>－.
[证明]　要证>－，
即证1>n－，
只需证>n－1，
∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，
只需证n>n－1，只需证0>－1，
最后一个不等式显然成立，故原结论成立．
能力拓展提升
一、选择题
11．设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f ′ (x) >f(x)成立，则(　　)21cnjy.com
A．3f(ln2)>2f(ln3) B．3f(ln2)<2f(ln3)
C．3f(ln2)＝2f(ln3) D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定
[答案]　B
[解析]　令F(x)＝(x>0)，则F′(x)＝，∵x>0，∴lnx∈R，∵对任意x∈R都有f ′(x)>f(x)，∴f′(lnx)>f(lnx)，∴F′(x)>0，∴F(x)为增函数，∵3>2>0，∴F(3)>f(2)，即>，∴3f(ln2)<2f(ln3)．
12．要使－<成立，a、b应满足的条件是(　　)
A．ab<0且a>b B．ab>0且a>b
C．ab<0且a0且a>b或ab<0且a[答案]　D
[解析]　－<?a－b＋3－3∴当ab>0时，有<，即b当ab<0时，有>，即b>a.
13．若两个正实数x、y满足＋＝1，且不等式x＋A．(－1，4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4，1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
[答案]　B
[解析]　∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m>x＋有解，应有m2－3m>4，∴m<－1或m>4，故选B.www-2-1-cnjy-com
14．在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且对任意m、n都有：
(1)f(1，1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1，1)＝2f(m，1)；给出下列三个结论：2-1-c-n-j-y
①f(1，5)＝9；②f(5，1)＝16；③f(5，6)＝26；
其中正确的结论个数是(　　)个．
(　　)
A．3　　　 B．2　　　
C．1　　　 D．0
[答案]　A[
[解析]　∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m，1)，公差为2的等差数列，21*cnjy*com
∴f(m，n)＝f(m，1)＋2(n－1)．
又f(1，1)＝1，∴f(1，5)＝f(1，1)＋2×(5－1)＝9，
又∵f(m＋1，1)＝2f(m，1)，∴f(m，1)构成首项为f(1，1)，公比为2的等比数列，∴f(m，1)＝f(1，1)·2m－1＝2m－1，∴f(5，1)＝25－1＝16，∴f(5，6)＝f(5，1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.21·世纪*教育网
二、填空题
15．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，
则cos(α－β)＝________.
[答案]　－
[解析]　由题意sinα＋sinβ＝－sinγ ①
cosα＋cosβ＝－cosγ ②
①，②两边同时平方相加得
2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝1
2cos(α－β)＝－1，
cos(α－β)＝－.
三、解答题
16．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，
求证：＋＞.
[证明]　要证明＋＞，
只需证明＋－＞0即可．
∵＋－＝
，
∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，
∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，
∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm221教育网
＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，
∵△ABC中任意两边之和大于第三边，
∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，
∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，
∴＋＞.
17．求证：－2cos(α＋β)＝.
[证明]　要证明原等式成立．
即证明sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝sinβ，
又因为sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)
＝sin[(α＋β)＋α]－2sinαcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2sinαcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.
所以原命题成立．