2.2.2 反证法 同步练习（含答案）

2.2.2 反证法 同步练习
基础巩固训练
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(　　)
A.有两个内角是钝角
B.有三个内角是钝角
C.至少有两个内角是钝角
D.没有一个内角是钝角
【解析】选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.
2.实数a，b，c满足a+2b+c=2，则(　　)
A.a，b，c都是正数
B.a，b，c都大于1
C.a，b，c都小于2
D.a，b，c中至少有一个不小于
【解析】选D.假设a，b，c均小于，则a+2b+c<+1+=2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于.
3. (1)已知：p3+q3=2，求证：p+q≤2.用反证法证明时，可假设p+q≥2.
(2)已知：a，b∈R，|a|+|b|<1，求证：方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是(　　)
A.(1)与(2)的假设都错误
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确，(2)的假设错误
D.(1)的假设错误，(2)的假设正确
【解析】选D.(1)错，应假设为p+q>2.(2)假设正确.故选D.
4.设a，b，c大于0，则3个数：a+，b+，c+的值(　　)
A.都大于2
B.至少有一个不大于2
C.都小于2
D.至少有一个不小于2
【解题指南】因为三个数的和不小于6，可以判断三个数至少有一个不小于2，所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾.
【解析】选D.假设a+，b+，c+都小于2，
即a+<2，b+<2，c+<2，
所以++<6，
又a>0，b>0，c>0，
所以++
=++≥2+2+2=6.
这与假设矛盾，所以假设不成立.
【变式训练】已知x1>0，且x1≠1，且xn+1=(n=1，2，3…).试证：数列{xn}对任意正整数n都满足xnxn+1.当此题用反证法否定结论时，应为(　　)
A.对任意的正整数n，都有xn=xn+1
B.存在正整数n，使得xn=xn+1
C.存在正整数n，使xn≥xn-1且xn≥xn+1
D.存在正整数n，使得(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0
【解析】选B.对于数列中的连续两项来说，要么不相等，要么相等.
5.设a，b，c是正数，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于零”的(　　)21教育网
A.充分条件
B.必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.必要性显然，充分性：若PQR>0，则P，Q，R同时大于零或其中两个为负，不妨设P<0，Q<0，R>0，因为P<0，Q<0，即a+b所以a+b+b+c0矛盾，所以P，Q，R同时大于零，故选C.
6.若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是(　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
【解析】选B.分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB+∠ADC=π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角.而∠ADC>∠BAD，∠ADC>∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC=时，才符合题意.2·1·c·n·j·y
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是____________________________.2-1-c-n-j-y
【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”.
答案：没有一个是三角形或四边形或五边形
8.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b=1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是__________(填序号).
【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证.
【解析】若a=，b=，则a+b=1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a=b=1，则a+b=2，故②不能推出.21*cnjy*com
若a=-2，b=1，则a2+b2>2，故④不能推出.
对于③，即a+b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a+b≤2与a+b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.【出处：21教育名师】
答案：③
9.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立；【版权所有：21教育】
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°.
正确顺序的序号排列为________.
【解析】由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
答案：③①②
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知a，b，c，d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.21教育名师原创作品
【解题指南】反证法来证明正难则反的运用，先否定结论，假设a，b，c，d都是非负数，然后推出矛盾来得到证明.21·cn·jy·com
【证明】假设a，b，c，d都是非负数，
因为a+b=c+d=1，
所以(a+b)(c+d)=1.
又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd，
所以ac+bd≤1，
这与已知ac+bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数.
【拓展提升】适用反证法证明的题型
适用反证法证明的题型有：(1)一些基本命题、基本定理.(2)易导出与已知矛盾的命题.(3)“否定性”命题.(4)“唯一性”命题.(5)“必然性”命题.(6)“至多”“至少”类命题.(7)“必然性”命题.(8)涉及“无限”结论的命题等.【来源：21cnj*y.co*m】
11.求证过一点只有一条直线与已知平面垂直.
【解题指南】文字叙述题的证明应先写出已知，求证，本题证明时应分两种情况，即点P在平面α内和点P在平面α外.
【证明】已知：平面α和一点P.
求证：过点P与平面α垂直的直线只有一条.
证明：如图所示，不论点P在α内或α外，设PA⊥α，垂足为A(或P).
假设过点P还有另一条直线PB⊥α，
设PA，PB确定的平面为β，且α∩β=a，
于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以假设不成立，原命题成立.21*cnjy*com
能力提升训练
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是(　　)
A.假设是有理数
B.假设是有理数
C.假设或是有理数
D.假设+是有理数
【解析】选D.假设结论的反面成立，+不是无理数，则+是有理数.
2.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(　　)
A.有一个解 B.有两个解
C.至少有三个解 D.至少有两个解
【解析】选C.在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”.
3.已知直线a，b为异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为
(　　)
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
【解析】选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.
4.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=an+2，bn=bn+1(a，b是常数，且a>b)，那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A.0 B.1
C.2 D.无穷多个
【解题指南】假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项，推理得出矛盾.
【解析】选A.假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项，则有an+2=bn+1，得到(a-b)n=-1，这样的n是不存在的，故假设不成立.21·世纪*教育网
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________.
【解析】假设两个一元二次方程均无实根，则有
即
解得{a|-2所以其补集{a|a≤-2或a≥-1}即为所求的a的取值范围.
答案：{a|a≤-2或a≥-1}
6.完成反证法证题的全过程.设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.
证明：假设p为奇数，则a1-1，a2-2，…，a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数=__________=__________=0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数.
【解题指南】利用奇数个奇数之和为奇数，把a1-1，a2-2，…，a7-7相加，利用a1+a2+…+a7=1+2+…+7可推出矛盾.
【解析】据题目要求及解题步骤，
因为a1-1，a2-2，…，a7-7均为奇数，
所以(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)也为奇数.
即(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)为奇数.
又因为a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，
所以a1+a2+…+a7=1+2+…+7，故上式为0.
所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)
=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0.
答案：(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)
(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知a，b，c∈(0，1).
求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于.
【证明】假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于.
因为0所以1-a>0.由基本不等式，得
≥>=.
同理，>，>.
将这三个不等式两边分别相加，得
++>++，
即>，这是不成立的，
故(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于.
8.设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn.证明数列{cn}不是等比数列.21世纪教育网版权所有
【解题指南】假设数列{cn}是等比数列，利用{an}，{bn}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾，即知假设不成立.
【证明】假设数列{cn}是等比数列，则
(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).　①
因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以=an-1an+1，=bn-1bn+1.www-2-1-cnjy-com
代入①并整理，得
2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1
=anbn，
即2=+　②.
当p，q异号时，+<0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，
所以+>2，与②相矛盾.
故数列{cn}不是等比数列.
【拓展延伸】适用反证法证明的题型
适用反证法证明的题型有：(1)一些基本命题、基本定理.(2)易导出与已知矛盾的命题.(3)“否定性”命题.(4)“唯一性”命题.(5)“必然性”命题.(6)“至多”“至少”类命题.(7)涉及“无限”结论的命题等.www.21-cn-jy.com
【变式训练】已知f(x)=x2+px+q.
求证：(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.
(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
【解题提示】至少有一个不小于的反面是都小于.
【证明】(1)f(1)+f(3)-2f(2)
=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.
(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，
则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2，
而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)
=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2，
这与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2相矛盾，
从而假设不成立，原命题成立.