2.3 数学归纳法 教案1
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文档简介
2.3 数学归纳法 教案
教学目标
知识与技能：了解数学归纳法原理，理解数学归纳法的概念；
过程与方法: 掌握数学归纳法的证明步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.
教学重点:
了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
教学难点:
用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教具准备：
与教材内容相关的资料.
教学设想：
并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
教学过程:
探究过程：
我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列的通项公式，
自然数平方和公式．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证．
怎样证明一个与自然数有关的命题呢？
资料1: 费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3，5，17，257，65537作了验证后得到的．21世纪教育网版权所有
18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了当n=5时，
=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．
有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！
资料2：f(n)=n2+n+41，当n∈N时，f(n)是否都为质数？
f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61，
f(5)=71，f(6)=83，f(7)=97，f(8)=113，f(9)=131，
f(10)=151，…? f(39)=1 601．
但是f(40)=1 681=412是合数
算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．
对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明 21教育网
课件展示：多媒体课件(游戏：多米诺骨牌) ，多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：
(1)骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；
(2)第一张牌被推倒．
用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．
数学运用：
例1．用数学归纳法证明：等差数列中，为首项，为公差，则通项公式为．①
证：(1)当时，等式左边，等式右边，等式①成立．
(2)假设当时等式①成立，即，
那么，当时，有．
这就是说，当时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对任何，等式①都成立．
变式：用数学归纳法证明：等比数列中，为首项，为公比，则通项公式为．
例2．用数学归纳法证明：当时，．
证：(1)当时，等式左边，等式右边，等式成立．
(2)假设当时等式成立，即，
那么，当时，有
．
这就是说，当时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对任何，等式都成立．
例3．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．
证明 (1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立；
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，
则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋，
故当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋都成立．
教学反思：
教学目标
知识与技能：了解数学归纳法原理，理解数学归纳法的概念；
过程与方法: 掌握数学归纳法的证明步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.
教学重点:
了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
教学难点:
用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教具准备：
与教材内容相关的资料.
教学设想：
并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
教学过程:
探究过程：
我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列的通项公式，
自然数平方和公式．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证．
怎样证明一个与自然数有关的命题呢？
资料1: 费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3，5，17，257，65537作了验证后得到的．21世纪教育网版权所有
18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了当n=5时，
=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．
有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！
资料2：f(n)=n2+n+41，当n∈N时，f(n)是否都为质数？
f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61，
f(5)=71，f(6)=83，f(7)=97，f(8)=113，f(9)=131，
f(10)=151，…? f(39)=1 601．
但是f(40)=1 681=412是合数
算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．
对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明 21教育网
课件展示：多媒体课件(游戏：多米诺骨牌) ，多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：
(1)骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；
(2)第一张牌被推倒．
用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．
数学运用：
例1．用数学归纳法证明：等差数列中，为首项，为公差，则通项公式为．①
证：(1)当时，等式左边，等式右边，等式①成立．
(2)假设当时等式①成立，即，
那么，当时，有．
这就是说，当时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对任何，等式①都成立．
变式：用数学归纳法证明：等比数列中，为首项，为公比，则通项公式为．
例2．用数学归纳法证明：当时，．
证：(1)当时，等式左边，等式右边，等式成立．
(2)假设当时等式成立，即，
那么，当时，有
．
这就是说，当时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对任何，等式都成立．
例3．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．
证明 (1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立；
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，
则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋，
故当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋都成立．
教学反思：