2.3 数学归纳法 教案2
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文档简介
2.3 数学归纳法 教案
教学目标
知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤；
过程与方法:通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径；
情感、态度与价值观：学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用．
教学重点:
体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径，学会数学归纳法的应用．
教学难点:
用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题，学会数学归纳法的应用．
教具准备：
与教材内容相关的资料.
教学设想：
并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
教学过程:
1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.
2.不完全归纳法：根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.
3.完全归纳法：把研究对象意义都考查到了而推出结论的归纳法叫做完全归纳法.又叫枚举法.
4.数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法叫做数学归纳法.21世纪教育网版权所有
5.数学归纳法的基本思想：先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，那么就可以递推出对所有小于n0的正整数命题都成立.21教育网
6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
学生探究过程：数学归纳法公理；
用数学归纳法证明：当时．
数学运用
例1．设， ．
(1)当时，计算的值；
(2)你对的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想．
解：(1)当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
(2)猜想：当时，能被8整除．
①当时，有能被8整除，命题成立．
②假设当时，命题成立，即能被8整除，
那么当时，有
．
这里，和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除．又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除．这就是说，当时，命题也成立．21cnjy.com
根据(1)和(2)，可知命题对任何都成立．
变式：求证当取正奇数时，能被整除.
证明：(1)时，，能被整除，命题成立.
(2)假设 (为正奇数)时，有能被整除，
当时，
∵以上两项均能被整除，∴能被整除，即当时命题仍成立.
由(1)、(2)可知，对一切正奇数，都有能被整除．
例2．已知，求证：．
巩固练习：1. 证明对，成立．
2．课本练习1，2．
课外作业：课本习题2.3第3，4，5，6，7题．
教学反思：
教学目标
知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤；
过程与方法:通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径；
情感、态度与价值观：学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用．
教学重点:
体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径，学会数学归纳法的应用．
教学难点:
用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题，学会数学归纳法的应用．
教具准备：
与教材内容相关的资料.
教学设想：
并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．
教学过程:
1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.
2.不完全归纳法：根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.
3.完全归纳法：把研究对象意义都考查到了而推出结论的归纳法叫做完全归纳法.又叫枚举法.
4.数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法叫做数学归纳法.21世纪教育网版权所有
5.数学归纳法的基本思想：先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，那么就可以递推出对所有小于n0的正整数命题都成立.21教育网
6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
学生探究过程：数学归纳法公理；
用数学归纳法证明：当时．
数学运用
例1．设， ．
(1)当时，计算的值；
(2)你对的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想．
解：(1)当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
(2)猜想：当时，能被8整除．
①当时，有能被8整除，命题成立．
②假设当时，命题成立，即能被8整除，
那么当时，有
．
这里，和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除．又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除．这就是说，当时，命题也成立．21cnjy.com
根据(1)和(2)，可知命题对任何都成立．
变式：求证当取正奇数时，能被整除.
证明：(1)时，，能被整除，命题成立.
(2)假设 (为正奇数)时，有能被整除，
当时，
∵以上两项均能被整除，∴能被整除，即当时命题仍成立.
由(1)、(2)可知，对一切正奇数，都有能被整除．
例2．已知，求证：．
巩固练习：1. 证明对，成立．
2．课本练习1，2．
课外作业：课本习题2.3第3，4，5，6，7题．
教学反思：