2.3 数学归纳法 同步练习2（含答案）

2.3 数学归纳法 同步练习
一、选择题
1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)21教育网
A．2　　　　B．3　　　　C． 5　　　　D．6
答案：C
2．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时，f(n)是(　)
A．1 B.
C．1＋＋ D．非以上答案
答案：C
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步归纳假设应写成(　　)
A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时，命题成立
B．假设n＝2k－1(k∈N*)时，命题成立
C．假设n＝2k(k∈N*)时，命题成立
D．假设n＝k(k∈N*)时，命题成立
解析：因为当k∈N*时，2k－1表示正奇数，故选B.
答案：B
4．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝(　　)
A. B.＋
C.＋ D.＋＋
解析：要注意末项与首项，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
答案：D
5．利用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞时，由k递推到k＋1时，左边应添加的因式是(　　)
A. B.＋
C.－ D.
答案：C
二、填空题
6．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
解析：观察不等式中分母的变化即可得结论．
答案：＋＋…＋＋＞－
7．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被14整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________．21cnjy.com
解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34×34k＋1＋52×52k＋1
＝34×34k＋1＋34×52k＋1＋52×52k＋1－34×52k＋1
＝34×(34k＋1＋52k＋1)－52k＋1×(34－52)
＝34×(34k＋1＋52k＋1)－52k＋1×14×4.
答案：34×(34k＋1＋52k＋1)－52k＋1×14×4
8．用数学归纳法证明等式1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，
即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．21·cn·jy·com
由①②知，对任意n∈N*，等式成立．
上述证明错误的原因是________________．
答案：没用上归纳假设
三、解答题
9．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·(n∈N*)．21世纪教育网版权所有
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×＝1，结论成立．
(2)假设当n＝k时，结论成立．
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·，
那么当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k·(k＋1)
＝(－1)k·.
即当n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n等式都成立．
10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)试求：a2，a3，a4的值；
解析：由a1＝1，an＋1＝，可得a2，a3，a4分别是，， .
(2)由此猜想数列{an}的通项公式an；
解析：由此可以猜想数列{an}的通项公式an＝.
(3)用数学归纳法加以证明．
证明：①当n＝1时，a1＝＝1，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，
即ak＝，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝.
这说明当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②可知，猜想对一切的n∈N*都成立．