2.3 数学归纳法 同步练习3（含答案）

2.3 数学归纳法 同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式(　　)
A．1＋<2　　　　　 B．1＋＋＜2
C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3
[答案]　B
[解析]　∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
[答案]　B
[解析]　因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A． B．
C．＋ D．－
[答案]　D
[解析]　f(n＋1)－f(n)＝
－＝＋－
＝－.
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)21*cnjy*com
A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立
[答案]　C
[解析]　原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.
5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是(　　)www-2-1-cnjy-com
A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立
D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立
[答案]　C
[解析]　∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.
6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
[答案]　C
[解析]　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.21教育网
二、填空题
7．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为(　　)
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C． D．
[答案]　B
[解析]　n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，
n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)( k＋3)…(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.21cnjy.com
8．已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测Sn＝________.【来源：21cnj*y.co*m】
[答案]　
[解析]　解法1：通过计算易得答案．
解法2：Sn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
9．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，第一步应验证的等式是________．【出处：21教育名师】
[答案]　1－＝
[解析]　当n＝1时，等式的左边为1－＝，右边＝，∴左边＝右边．
三、解答题
10．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[证明]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.
由此猜想an＝(n∈N*)
(2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立，
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，
即ak＝，
当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak21·cn·jy·com
∴ak＋1＝＝，
∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，an＝成立．
能力拓展提升
一、选择题
11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．k2＋1 B．(k＋1)2
C． D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
[答案]　D
[解析]　n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故选D.
12．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.(　　)www.21-cn-jy.com
A．2π B．π
C． D．
[答案]　B
[解析]　将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk＋1的内角和π的和，故选B.2-1-c-n-j-y
13．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
[答案]　A
[解析]　因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．【版权所有：21教育】
14．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝(　　)21教育名师原创作品
A．26 B．27
C．28 D．29
[答案]　D
[解析]　观察发现，1＋3＝4，3＋4＝7，4＋7＝11，7＋11＝18，11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.2·1·c·n·j·y
二、填空题
15．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．
[答案]　当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立
[解析]　当n＝1时，左≥右，不等式成立，
∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．
16．对任意n∈N*，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
[答案]　5
[解析]　当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.21世纪教育网版权所有
三、解答题
17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域．
[证明]　(1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立．
当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．21·世纪*教育网
从而k＋1条直线将平面分成＋k＋1＝块区域．
所以n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
18．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；
②利用数学归纳法证明猜想的结论．
解答本题的关键是先利用特殊值猜想．
[解析]　当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2(n∈N*)成立
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，
所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边>右边．
(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，
即2k＋2>k2.那么当n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.
又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．