3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念 同步练习2（含答案）

3.1.1
数系的扩充和复数的相关概念
同步练习
基础巩固训练
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.
-(2-i)的虚部是(　　)
A.-2
B.-　
　　　C.　
　　　D.2
【解析】选C.由-(2-i)=-2+i，则虚部为.
2.如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(　　)
A.C=R∪I
B.R∪I={0}
C.R=C∩I
D.R∩I=
【解析】选D.复数包括实数与虚数，故A，B，C错.选D.
3.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等，则实数a的值为(　　)
A.1
B.1或-4
C.-4
D.0或-4
【解析】选C.验证：当a=0或1时，复数4-3a-a2i与复数a2+4ai不相等，排除A，B，D.
【变式训练】已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等，则实数a等于(　　)
A.-3
B.3
C.-1
D.1
【解析】选C.已知1+3i的实部为1，-1-ai的虚部为-a，则a=-1.
【知识拓展】复数相等的充要条件的应用
1.必须是复数的代数形式，才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组.
2.利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.
4.a=0是复数a+bi(a，b∈R)为纯虚数的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.当a=0时，若b=0，则为实数，若b≠0，则为纯虚数，若a+bi为纯虚数，则a=0，b≠0，故a=0是复数a+bi(a，b∈R)为纯虚数的既不充分也不必要条件.
5.若a，
b∈R，i是虚数单位，且b+(a-2)i=1+i，则a+b的值为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.由b+(a-2)i=1+i得b=1，a=3，
所以a+b=4.
6.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是(　　)
A.-1或3
B.{a|a>3或a<-1}
C.{a|a>-3或a<1}
D.{a|a>3或a=-1}
【解题指南】找出复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部与虚部，列出不等式，即可求得实数a的取值范围.
【解析】选B.由已知可以得到a2>2a+3，即a2-2a-3>0，解得a>3或a<-1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<-1}.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.设i为虚数单位，若复数z=(m2+2m-3)+(m-1)i是纯虚数，则实数m=________.
【解析】由已知得，故m=-3.
答案：-3
8.以3i-的虚部为实部，以3i2+i的实部为虚部的复数是________.
【解析】3i-的虚部为3，3i2+i的实部为-3，所以所求复数为3-3i.
答案：3-3i
9.已知x2-y2+2xyi=2i，则有序实数对(x，y)=________.
【解析】由复数相等，得
解得或
答案：(1，1)或(-1，-1)
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知复数z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i，则当实数m为何值时，复数z
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.
【解析】z=(m2+3m+2)+(m2-m-6)i.
(1)令m2-m-6=0 m=3或m=-2，
即m=3或m=-2时，z为实数.
(2)令m2-m-6≠0，解得m≠-2且m≠3，
所以m≠-2且m≠3时，z是虚数.
(3)由解得m=-1，
所以m=-1时，z是纯虚数.
11.若不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立，求实数m的值.
【解题指南】虚数不能比较大小，能比较大小的一定是实数.
【解析】由题意，得，
所以
所以当m=3时，原不等式成立.
能力提升训练
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.若复数z=+i是纯虚数，则tan的值为(　　)
A.-7　　　
B.-　　　
C.7　　
　D.-7或-
【解析】选A.因为复数z是纯虚数.所以满足实部为零且虚部不为零.即因为sinθ=且cosθ≠，所以cosθ=-，所以tanθ=-，
因为tan===-7.故选A.
【误区警示】忽视虚部的限制而出错
纯虚数的实部为0，虚部一定不等于0.
2.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根，则这个实根以及实数k的值为
(　　)
A.x=，k=-2
B.x=-，k=2
C.x=或x=-，k=-2
D.或
【解题指南】先设出方程对应实数根，再利用复数相等的知识，列出方程组，求实数的值.
【解析】选D.设x=x0是方程的实根，代入方程并整理，得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0.
由复数相等的条件，得
解得或
3.甲、乙两人各抛掷一次骰子(它们的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足复数x+yi的实部大于虚部的概率是(　　)
A.　　　
　B.　　　
　C.　
　　　D.
【解析】选B.抛掷的结果为
(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)
(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)
(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)
(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)
(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)
(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)共有36种.
满足复数x+yi的实部大于虚部情况数有
(2，1)
(3，1)(3，2)
(4，1)(4，2)(4，3)
(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)
(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)共有15种.
所以满足复数x+yi的实部大于虚部的概率为=.
4.已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1=
z2，则λ的取值范围为(　　)
A.-7≤λ≤
B.≤λ≤7
C.-1≤λ≤1
D.-≤λ≤7
【解析】选D.由z1=
z2，得
消去m，得λ=4sin2θ-3sinθ=4-.
由于-1≤sinθ≤1，故-≤λ≤7.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.设复数z=+(m2+2m-15)i为实数，则实数m的值是________.
【解析】由题意解得m=3.
答案：3
【举一反三】若把题中条件“实数”改为“虚数”则m的值为多少？
【解析】若复数z=+(m2+2m-15)i是虚数，则m+5≠0且m2+2m-15≠0，得m≠3且m≠=-5.
【变式训练】若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为________.
【解析】由 x=-1.
答案：-1
6.已知实数a，x，y满足a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0，则点(x，y)的轨迹方程是____________.
【解题指南】由复数相等的充要条件列出a，x，y的关系式，再消去字母a即可.
【解析】由复数相等的充要条件知，
消去a，
得x2+y2-2x+2y=0，
即(x-1)2+(y+1)2=2.
答案：(x-1)2+(y+1)2=2
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知+(x2-2x-3)i=0(x∈R)，求x的值.
【解析】由复数相等的定义，得
解得x=3.所以x=3为所求.
8.定义运算=ad-bc，如果(x+y)+(x+3)i=，求实数x，y的值.
【解题指南】利用运算的定义转化为两个复数相等求解.
【解析】由定义运算=ad-bc
得=3x+2y+yi，
故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.
因为x，y为实数，所以有
得得x=-1，y=2.