3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念 同步练习3（含答案）

3.1.1
数系的扩充和复数的相关概念
同步练习
一、选择题
1．下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是(　　)
A．①　　　　　　　　　　
B．②
C．③
D．④
答案　D
2．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为(　　)
A．1
B．1或－4
C．－4
D．0或－4
答案　C
4．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是(　　)
A．±1
B．±i
C．±i
D．±2i
答案　C
5．若a、b∈R且(1＋i)a＋(1－i)b＝2，则a、b的值分别为(　　)
A．a＝1，b＝－1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝1
D．a＝－1，b＝－1
答案　C
解析　
6．复数(2x2＋5x＋2)＋(x2＋x－2)i为虚数，则实数x满足(　　)
A．x＝－
B．x＝－2或x＝－
C．x≠－2
D．x≠1且x≠－2
答案　D
7．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　)
A．3－3i
B．3＋i
C．－＋i
D.＋i
答案　A
解析　3i－的虚部为3，3i2＋i的实部为－3，∴以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是3－3i.
8．已知复数z＝cosα＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为(　　)
A．{π，，}
B．{，}
C．{π，，}
D．{，π，}
答案　D
9．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x、y的值为(　　)
A．x＝0且y＝3
B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3
D．x＝3且y＝0
答案　A
10．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　)
A．|a|＝|b|
B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b
D．a<0
答案　D
二、填空题
11．若cosθ＋(1＋sinθ)i是纯虚数，则θ＝________.
答案　＋2kπ(k∈Z)
12．若x是实数，y是纯虚数，且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________.
答案　　2i
13．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x、y为实数，那么x＝________，y＝________.
答案　　1
14．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.
答案　2
15．如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为________．
答案　－2
三、解答题
16．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：
(1)实数；　(2)虚数；　(3)纯虚数．
解析　(1)当z∈R时，m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3.
(2)当z为虚数时，m2－2m－15≠0，得m≠5且m≠－3.
(3)当z为纯虚数时，得m＝－2.
17．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数．
解析　(1)由条件可得
解得m＝－3.∴当m＝－3时，z∈R.
(2)由条件得
解得m＝0或m＝2.
∴当m＝0或m＝2时，z是纯虚数．
重点班·选做题
18．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos
θ＋(λ－3sinθ)i(λ∈R)．若z1＝z2，证明：－≤λ≤7.
证明　由复数相等的条件，得
∴λ＝4－4cos2θ＋3sinθ＝4(sinθ＋)2－.
当sin
θ＝－时，λmin＝－；
当sin
θ＝1时，λmax＝7.∴－≤λ≤7.