3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念 同步练习4（含答案）

3.1.1
数系的扩充和复数的相关概念
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a、b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是
(　　)
A．①　　
B．②　　
C．③　　
D．④
[答案]　D
[分析]　由复数的有关概念逐个判定．
[解析]　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.
2．复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．0或－1
B．0
C．1
D．－1
[答案]　D
[解析]　∵z为纯虚数，∴∴m＝－1，故选D.
3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为(　　)
A．1
B．1或－4
C．－4
D．0或－4
[答案]　C
[解析]　由复数相等的充要条件得
解得：a＝－4.故应选C.
4．已知复数z＝cosα＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为(　　)
A．{π，，}
B．{，}
C．{π，，}
D．{，π，}
[答案]　D
[解析]　由条件知，cosα＋cos2α＝0，
∴2cos2α＋cosα－1＝0，
∴cosα＝－1或，
∵0<α<2π，∴α＝π，或，故选D.
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
[答案]　C
[解析]　若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.
6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a、b∈R)为实数的充要条件是(　　)
A．|a|＝|b|
B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b
D．a≤0
[答案]　D
[解析]　复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.
二、填空题
7．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________________，y＝________________
[答案]　　1
[解析]　由复数相等可知，
∴
8．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝__________________.
[答案]　2
[解析]　方程可化为
解得x＝2.
9．如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为________．
[答案]　－2
[解析]　如果z为纯虚数，需，解之得a＝－2.
三、解答题
10．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，当实数m取何值时．
(1)z是纯虚数．
(2)z是实数．
[解析]　(1)由题意知
解得m＝3.所以当m＝3时，z是纯虚数．
(2)由m2＋3m＋2＝0，得m＝－1或m＝－2，
又m＝－1或m＝－2时，m2－2m－2>0，
所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数．
能力拓展提升
一、选择题
11．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于(　　)
A．kπ(k∈Z)
B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z)
D．2kπ＋(k∈Z)
[答案]　D
[解析]　由复数相等的定义可知，
∴cosθ＝，sinθ＝.
∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.
12.若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．－1
B．4
C．－1或4
D．不存在
[答案]　B
[解析]　由条件知，
∴∴m＝4.
13．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)
A．3＋i
B．3－i
C．－3－i
D．－3＋i
[答案]　B
[解析]　由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即，解得
∴z＝3－i，故应选B.
14．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈Z}，在集合A中任取一个元素a，则复数z＝(a2－1)＋(a2－a－2)i为实数的概率为p1，z为虚数的概率为p2，z＝0的概率为p3，z为纯虚数的概率为p4，则(　　)
A．p3B．p4C．p3D．p3＝p4[答案]　D
[解析]　由条件知A＝{－2，－1，0，1，2}，
若z∈R，则a2－a－2＝0，∴a＝－1或2，∴p1＝；
若z＝0，则∴a＝－1，∴p3＝；
若z为虚数，则a2－a－2≠0，∴a≠－1且a≠2，
∴p2＝；
若z为纯虚数，则∴a＝1，∴p4＝.
∴p3＝p4二、填空题
15．若cosθ＋(1＋sinθ)i是纯虚数，则θ＝________.
[答案]　2kπ＋(k∈Z)
[解析]　由cosθ＋(1＋sinθ)i是纯虚数知，
所以θ＝2kπ＋(k∈Z)．
16．若x是实数，y是纯虚数，且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________.
[答案]　　2i
[解析]　设y＝bi(b∈R，
且b≠0)，则2x－1＋2i＝bi，再利用复数相等的充要条件得解得
∴x＝，y＝2i.
三、解答题
17．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[解析]　由题意，得
∴
∴当m＝3时，原不等式成立．
18．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为　
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
[解析]　(1)当
即m＝2时，复数z是实数；
(2)当m2－2m≠0，且m≠0，
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．