3.1.2 复数的几何意义 同步练习1（含答案）

3.1.2
复数的几何意义
同步练习
基础巩固训练
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于
(　　)
A.第一象限　　　　　　　
　
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.因为<2<π，所以sin2>0，cos2<0，所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.
2.已知a，b∈R，那么在复平面内对应于复数a-bi，-a-bi的两个点的位置关系是(　　)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
【解析】选B.在复平面内对应于复数a-bi，-a-bi的两个点为(a，-b)和(-a，-b)关于y轴对称.
【变式训练】复数z1=1+i，z2=1-i在复平面内对应点关于(　　)
A.实轴对称
B.虚轴对称
C.一、三象限平分线对称
D.二、四象限平分线对称
【解析】选A.由实部相等，虚部互为相反数得复数z1=1+i，z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.
3.复数z与它的模相等的充要条件是(　　)
A.z为纯虚数
B.z是实数
C.z是正实数
D.z是非负实数
【解析】选D.因为z=|z|，所以z为实数且z≥0.
4.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为-1+2i，若点A关于直线y=-x的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
A.-2-i
B.-2+i
C.1+2i
D.-1+2i
【解析】选B.因为A(-1，2)关于直线y=-x的对称点B(-2，1)，所以向量对应的复数为-2+i.
5.已知复数z=a+i(其中a∈R，i为虚数单位)的模为|z|=2，则a等于(　　)
A.1　　　　
B.±1　　　　
C.　　
　　D.±
【解析】选D.因为|z|=2，所以a2+1=4，所以a=±.
【变式训练】已知0A.(1，5)
B.(1，3)
C.(1，)
D.(1，)
【解析】选C.|z|=，0所以16.在复平面上，点Z1对应的复数是4+i，线段Z1Z2的中点对应的复数是1+2i，则点Z2对应的复数是(　　)
A.-2+3i
B.-2-3i
C.2-3i
D.2+3i
【解析】选A.依题意有，在复平面内，点Z1的坐标(4，1)，线段Z1Z2的中点坐标为(1，2)，设点Z2的坐标为(a，b)，则有解得所以点Z2对应的复数是-2+3i，选A.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.
i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2-3i，则z2=________.
【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.
【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2，-3)，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2，3)，对应的复数为z2=-2+3i.
答案：-2+3i
8.已知△ABC中，，对应的复数分别为-1+2i，-2-3i，则对应的复数为______.
【解析】因为，对应的复数分别为-1+2i，-2-3i，所以=(-1，2)，=(-2，-3).
又=-=(-2，-3)-(-1，2)=(-1，-5)，
所以对应的复数为-1-5i.
答案：-1-5i
9.已知复数z满足z+|z|=2+8i，则复数z=________.
【解析】设z=a+bi(a，b∈R)，则|z|=，代入方程，得a+bi+=2+8i，
所以解得
所以z=-15+8i.
答案：-15+8i
【一题多解】原式可化为z=2-|z|+8i.
因为|z|∈R，所以2-|z|是z的实部，于是|z|=，即|z|2=68-4|z|+|z|2.
所以|z|=17.代入z=2-|z|+8i，得z=-15+8i.
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如果复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围.
【解析】因为z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i，
由题意，得
解得m<或m>，
即实数m的取值范围是m<或m>.
11.已知m，n∈R，若log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数，复数z=m+ni的对应点在直线x+y-2=0上，求|z|.
【解题指南】首先利用纯虚数的条件，求出m的值.再利用复数z对应的点在直线x+y-2=0上，求n的值.最后计算出|z|.
【解析】由纯虚数的定义知
解得m=4.
所以z=4+ni.
因为z的对应点在直线x+y-2=0上，
所以4+n-2=0，所以n=-2.
所以z=4-2i，
所以|z|=
=2.
能力提升训练
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于
(　　)
A.第一象限　　　　　　
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.因复数z=-1-2i的实部为-1，虚部为-2，故由几何意义可知，复数在第三象限.
【变式训练】若θ∈，则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i在复平面内所对应的点在(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.取θ=π，得(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i=-1+i，则复数在复平面内所对应的点在第二象限.
2.已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为(　　)
A.
1+i
B.2
C.(-1，)
D.
-1+i
【解析】选D.根据题意可画图形如图所示：
设点Z的坐标为(a，b)，
因为||=|z|=2，∠xOZ=120°，
所以a=-1，b=，
即点Z的坐标为(-1，)，
所以z=-1+i.
3.在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A.4+8i
B.8+2i
C.2+4i
D.4+i
【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标，再利用中点坐标公式求出C点，再把点的坐标还原为复数.
【解析】选C.由题意，得点A(6，5)，B(-2，3).由C为线段AB的中点，得点C(2，4)，
所以点C对应的复数为2+4i.
【变式训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1，Z2与Z1关于x轴对称，Z3与Z2关于直线y=-x对称，则点Z3对应的复数为z=________.
【解析】Z1(-2，3)，Z2(-2，-3)，Z3(3，2)
所以z=3+2i.
答案：3+2i
4.已知z=cos+isin，i为虚数单位，那么平面内到点C(1，2)的距离等于|z|的点的轨迹是(　　)
A.圆面
B.以点C为圆心，半径等于1的圆
C.满足方程x2+y2=1的曲线
D.满足(x-1)2+(y-2)2=的曲线
【解析】选B.由z=cos+isin，得|z|=1，故到点C(1，2)的距离为1的点的轨迹为(x-1)2+(y-2)2=1为以点C为圆心，半径等于1的圆.
【拓展延伸】复数与曲线的关系
　　复数的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，复数问题可以用几何方法解决，几何问题也可以用复数方法解决.如：若复数z的对应点在直线x=1上，则z=1+bi(b∈R)；若复数z的对应点在直线y=x上，则z=a+ai(a∈R)，这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.复数z=(a-2)+(a+1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________.
【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为
(a-2，a+1)，因为该点位于第二象限，
所以解得-1由条件得|z|==
==，
因为-1答案：
6.复数z=-5-12i在复平面内对应的点到原点的距离为________.
【解析】复数z=-5-12i对应点为(-5，-12)，
所以d==13.
答案：13
【变式训练】若复数z=
(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|=________.
【解析】由条件知
所以m=3，所以z=12i，所以|z|=12.
答案：12
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.实数m取什么值时，复平面内表示复数z=
(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点
(1)位于第四象限.
(2)位于第一、三象限.
【解析】(1)
-2(2)(m2-8m+15)(m2-5m-14)>0 (m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0，
得m<-2或37.
【举一反三】若结论改为复数z的点位于直线x-2y+16=0上，则结果如何？
【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0 m=1±2.
8.已知O为坐标原点，对应的复数为-3+4i，对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线，求a的值.
【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标，再利用向量共线的条件求出a的值.
【解析】因为对应的复数为-3+4i，
对应的复数为2a+i，
所以=(-3，4)，=(2a，1).
因为与共线，所以存在实数k使=k，
即(2a，1)=k(-3，4)=(-3k，4k)，
所以所以即a的值为-.
【变式训练】已知虚数(x-2)+yi(x，y∈R)的模为，求的取值范围.
【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式，即动点(x，y)的轨迹；再由=的几何意义表示动点(x，y)与(0，0)所在直线的斜率，作出草图，求出范围.
【解析】由(x-2)+
yi是虚数，得y≠0，又由=，得(x-2)2+y2=3.这是以(2，0)为圆心，为半径的圆，(除去(2±，0)).
过O点作圆的切线OP，OQ，则斜率的最大值为
=tan∠AOP=，=tan∠AOQ=-.
所以的取值范围是[-，0)∪(0，].
【方法技巧】常见复数模的几何意义
复数的模在复平面内对应的常见图形为：
(1)以z0为圆心，r为半径的圆：│z-z0│=r.
(2)线段z1z2的中垂线│z-z1│=│z-z2│.