3.1.2 复数的几何意义 同步练习2（含答案）

3.1.2
复数的几何意义
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．若＝(0，－3)，则对应的复数为(　　)
A．0
B．－3
C．－3i
D．3
[答案]　C
[解析]　由＝(0，－3)，得点Z的坐标为(0，－3)，
∴对应的复数为0－3i＝－3i.故选C.
2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是(　　)
A．z1>z2
B．z1C．|z1|>|z2|
D．|z1|<|z2|
[答案]　D
[解析]　不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A，B.
又|z1|＝，|z2|＝，
∴|z1|<|z2|.
故选D.
3．在复平面内，O为原点，向量对应复数为－1－2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应复数为(　　)
A．－2－i
B．2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
[答案]　B
[解析]　由题意知A点坐标为(－1，－2)，而点B与点A关于直线y＝－x对称，则B点坐标为(2，1)，所以向量对应复数为2＋i.故应选B.
4．在复平面内，复数6＋5i、－2＋3i对应的点分别为A、B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
[答案]　C
[解析]　由题意知A(6，5)，B(－2，3)，AB中点C(x，y)，则x＝＝2，y＝＝4，
∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
5．复数1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为(　　)
A．2cos
B．－2cos
C．2sin
D．－2sin
[答案]　B
[解析]　所求复数的模为
＝＝，
∵π＜α＜2π，∴＜＜π，
∴cos＜0，
∴＝－2cos.
6．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　C
[解析]　z＝－2sin100°＋2icos100°.
∵－2sin100°<0，2cos100°<0，
∴点Z在第三象限．故应选C.
二、填空题
7．
i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
[答案]　－2＋3i
[解析]　∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2，3)．
∴z2＝－2＋3i.
8．复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
[答案]　5
[解析]　复数3－5i，1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，所以由三点共线的条件可得＝.解得a＝5.
9．若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则|z|＝________.
[答案]　12
[解析]　由条件知，
∴m＝3，∴z＝12i，∴|z|＝12.
三、解答题
10．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：
(1)对应点在x轴上方；
(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上．
[解析]　(1)由m2－2m－15>0，得知m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方；
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知：
m＝或m＝，
z的对应点在直线x＋y＋5＝0上．
能力拓展提升
一、选择题
11．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是(　　)
A．－1
B．4
C．－1和4
D．－1和6
[答案]　C
[解析]　由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.
[点评]　复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点，切勿错误的以为虚轴不包括原点．
12．下列命题中，假命题是(　　)
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
[答案]　D
[解析]　①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0 |z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|.
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
13．已知复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　B
[解析]　复数z1＝2－ai对应的点为(2，－a)，它在直线x－3y＋4＝0上，故2＋3a＋4＝0，解得a＝－2，于是复数z2＝－2＋2i，它对应的点在第二象限，故选B.
14．已知0A．(1，5)
B．(1，3)
C．(1，)
D．(1，)
[答案]　C
[解析]　由已知，得|z|＝.
由0∴1∴|z|＝∈(1，)．
故选C.
二、填空题
15．已知复数z1＝－1＋2i、z2＝1－i、z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A、B、C，若O＝x
O＋y
O(x、y∈R)，则x＋y的值是________________．
[答案]　5
[解析]　由复数的几何意义可知，
O＝x＋y，
即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，
由复数相等可得，
解得
∴x＋y＝5.
16．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________．
[答案]　
[解析]　由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，
∴tanθ＝.
三、解答题
17．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．
(1)若z是实数，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求m的值；
(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．
[解析]　(1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1.
(2)∵z为纯虚数，∴解得m＝0.
(3)∵z所对应的点在第四象限，
∴解得－318.已知复数z1＝1＋cosθ＋isinθ，z2＝1－sinθ＋icosθ，且两数的模的平方和不小于2，求θ的取值范围．
[解析]　由已知得，
|z1|2＝(1＋cosθ)2＋sin2θ＝2＋2cosθ，
|z2|2＝(1－sinθ)2＋cos2θ＝2－2sinθ.
|z1|2＋|z2|2≥2，
即2＋2cosθ＋2－2sinθ≥2，
cosθ－sinθ≥－1，
cos(θ＋)≥，
所以2kπ－π≤θ≤2kπ＋，k∈Z.
所以θ的取值范围是[2kπ－π，2kπ＋]，k∈Z.