3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 同步练习3（含答案）

3.2.1
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)
A．1＋i　　　　　　　
B．2＋i
C．3
D．－2－i
[答案]　D
[解析]　∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)
＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，
∴∴
∴a＋bi＝－2－i.
2．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝(　　)
A．2－2i
B．－2－2i
C．±2－2i
D．2±2i
[答案]　C
[解析]　∵z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，
由|z|＝4得a2＋4＝16，
∴a2＝12，∴a＝±2，
∴z＝±2－2i.
3．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的(　　)
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　z是纯虚数 x＝1，故选A.
4．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)
A．－2
B．4
C．3
D．－4
[答案]　B
[解析]　z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.
5．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．－1
[答案]　D
[解析]　z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.
6． ABCD中，点A、B、C分别对应复数4＋i、3＋4i、3－5i，则点D对应的复数是(　　)
A．2－3i
B．4＋8i
C．4－8i
D．1＋4i
[答案]　C
[解析]　对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.
由平行四边形法则知＝，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.
二、填空题
7．在复平面内，若、对应的复数分别为7＋i、3－2i，则
||＝________.
[答案]　5
[解析]　||对应的复数为3－2i－(7＋i)＝－4－3i，所以||＝＝5.
8．已知向量和向量对应的复数分别为3＋4i和2－i，则向量对应的复数为________．
[答案]　－1－5i
[解析]　∵＝－，∴对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i.
9．在复平面内，O是原点，O、O、A对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么B对应的复数为________________．
[答案]　4－4i
[解析]　B＝O－O
＝O－(O＋A)
＝3＋2i－
(－2＋i＋1＋5i)
＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i
＝4－4i.
三、解答题
10．已知平行四边形ABCD中，A与A对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
(1)求A对应的复数；
(2)求D对应的复数；
(3)求△APB的面积．
[分析]　由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A，D对应的复数，先求出向量P、P对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB的面积．
[解析]　(1)由于ABCD是平行四边形，所以A＝A＋A，于是A＝A－A，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即A对应的复数是－2＋2i.
(2)由于D＝A－A，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即D对应的复数是5.
(3)由于P＝C＝－A＝，
P＝D＝，
于是P·P＝－，
而||＝，||＝，
所以··cos∠APB＝－，
因此cos∠APB＝－，故sin∠APB＝，
故S△APB＝||||sin∠APB
＝×××＝.
即△APB的面积为.
[点评]　(1)根据复数加减法运算的几何意义可以把复数的加减法运算转化为向量的坐标运算．
(2)复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．
能力拓展提升
一、选择题
11．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　A
[解析]　∵z1＝3＋2i，z2＝1－3i，
∴z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i
＝2＋5i.
∴点Z位于复平面内的第一象限．故应选A.
12．若复数(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．1
B．3
C．1或3
D．－1
[答案]　B
[解析]　由条件知∴a＝3.
13．复数z1、z2满足z1＝m＋(4－m2)
i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m、λ、θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)
A．[－1，1]
B．[－，1]
C．[－，7]
D．
[，1]
[答案]　C
[解析]　∵z1＝z2，∴
∴λ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－)2－，
∵sinθ∈[－1，1]，∴λ∈[－，7]．
二、填空题
14．在复平面内，z＝cos10＋isin10的对应点在第________象限．
[答案]　三
[解析]　∵3π<10<，∴cos10<0，sin10<0，
∴z的对应点在第三象限．
15．若|z－1|＝|z＋1|，则|z－1|的最小值是________________．
[答案]　1
[解析]　解法一：设z＝a＋bi，(a，b∈R)，
则|(a－1)＋bi|＝|(a＋1)＋bi|.
∴＝，
即a＝0，∴z＝bi，b∈R，
∴|z－1|min＝|bi－1|min＝，
故当b＝0时，|z－1|的最小值为1.
解法二∵|z－1|＝|z＋1|，
∴z的轨迹为以(1，0)，(－1，0)为端点的线段的垂直平分线，即y轴，|z－1|表示，y轴上的点到(1，0)的距离，所以最小值为1.
三、解答题
16．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1、z2.
[解析]　z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又因为z＝13－2i，且x、y∈R，
所以解得
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
17.已知关于t的方程t2＋2t＋2xy＋(t＋x－y)i＝0(x、y∈R)，求使该方程有实根的点(x，y)的轨迹方程．
[解析]　设原方程的一个实根为t＝t0，则有
(t＋2t0＋2xy)＋(t0＋x－y)i＝0.
根据复数相等的充要条件有
把②代入①中消去t0，得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
故所求点的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
[点评]　因为t0为实数，故根据复数相等的充要条件让实部与虚部分别为0，而要求的是点(x，y)的轨迹方程，故应用代入消元法将t0消去整理即可．