3.2.2 复数代数形式的乘除运算 同步练习2（含答案）

3.2.2
复数代数形式的乘除运算
同步练习
基础巩固强化
一、选择题
1．设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　A
[解析]　∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．
2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
[答案]　B
[解析]　本题考查复数的乘法，复数的几何意义．
∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，
∴z1z2＝－1－4＝－5，故选B.
3．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)
A．3－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．1－3i
[答案]　A
[解析]　由定义得＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，
∴z＝＝3－i.
故应选A.
4．已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是(　　)
A．z－为纯虚数
B．任何数的偶数次幂均为非负数
C．i＋1的共轭复数为i－1
D．2＋3i的虚部为3
[答案]　D
[解析]　当z为实数时A错；由i2＝－1知B错；由共轭复数的定义知1＋i的共轭复数为1－i，C错，故选D.
5．在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　B
[解析]　＝＝＝－＋i，∴复数对应的点位于第二象限．
6．设z＝＋i(i是数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝(　　)
A．6z
B．6z2
C．6
D．－6z
[答案]　C
[解析]　z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝(＋i)＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋(－i)＋6＝3－3i＝6(－i)＝6.
二、填空题
7．已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
[答案]　10
[解析]　∵z＝8＋6i，∴|z|＝＝10.
8．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.
[答案]　2＋i
[解析]　(1＋2i)·＝4＋3i，
＝＝＝2－i，∴z＝2＋i.
9．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为________．
[答案]　2
[解析]　∵＝
＝为纯虚数，∴∴a＝2.
三、解答题
10．已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
[解析]　设z＝x＋yi
(x、y∈R)，
z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由题意得x＝4.∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知解得2∴实数a的取值范围是(2，6)．
能力拓展提升
一、选择题
11．若复数是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．2
B．－
C.
D．－
[答案]　A
[解析]　∵＝＝是纯虚数，∴a＝2.
12．
i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝(　　)
A．1
B．－1
C.
D．－
[答案]　A
[解析]　∵z＝＝＝＝i，
∴＝－i，∴z＝1.
13．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝(　　)
A．0
B．1
C.
D．2
[答案]　C
[解析]　∵＝i，
∴z＝，∴z＋1＝＋1＝＝1－i，
∴|z＋1|＝.
14．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2等于(　　)
A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i
D．1－i
[答案]　C
[解析]　＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
二、填空题
15．设x、y为实数，且＋＝，则x＋y＝__________________.
[答案]　4
[解析]　＋＝可化为，
＋＝，
即＋i＝＋i，
由复数相等的充要条件知
∴∴x＋y＝4.
16．若复数z满足z＋i＝，则|z|＝__________________.
[答案]　
[解析]　∵z＝－i＝－3i＋1－i＝1－4i，
∴|z|＝.
三、解答题
17．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
[解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，得a＝2，b＝1，
∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
18．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai
(a∈R)．
试求a的取值范围．
[解析]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，
由(2)得，x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.
由复数相等的定义得，
由①得x2＋(y－1)2＝9，∵x<0，y>0，∴－3≤x<0，∴－6≤a＜0.