3.2.2 复数代数形式的乘除运算 同步练习3（含答案）

3.2.2
复数代数形式的乘除运算
同步练习
一、选择题
1．复数等于(　　)
A．1＋i　　　　
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
答案　A
2．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)
A．3－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．1－3i
答案　A
3．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝(　　)
A．－2
B．－
C.
D．2
答案　D
4．
i是虚数单位，若集合S＝{－1，0，1}，则(　　)
A．i∈S
B．i2∈S
C．i3∈S
D.∈S
答案　B
5．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是(　　)
A．0
B.
C．1
D．2
答案　C
6．
i是虚数单位，复数＝(　　)
A．1＋i
B．5＋5i
C．－5－5i
D．－1－i
答案　A
7．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)
A．2
B．－2
C．－
D.
答案　A
8．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝(　　)
A．0
B．1
C.
D．2
答案　C
9．若i是虚数单位，则满足(p＋qi)2＝q＋pi的实数p、q一共有(　)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
答案　D
二、填空题
10．已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
答案　10
11．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.
答案　2＋i
12．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为________．
答案　1
13．设x、y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
答案　4
14．若复数z满足z＋i＝，则|z|＝________.
答案　
三、解答题
15．计算：
(1)(－＋i)(2－i)(3＋i)；
(2).
解析　(1)原式＝＋i.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝－2＋2i.
16．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
解析　(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由(1)知x<0，y>0，
由(2)得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
得
由(1)得x2＝－y2＋2y＋8，
x2＝－(y－1)2＋9≤9.
∵x<0，∴－3≤x<0.
∴－6≤a<0.∴a的取值范围是[－6，0)．
走向高考
1．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件　　　
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　直接法．
∵a＋＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0.
而ab＝0时有a＝0或b＝0，
∴由a＝0，b≠0 ab＝0，反之不成立．
∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
2．若复数z满足zi＝1－i，则z等于(　　)
A．－1－i
B．1－i
C．－1＋i
D．1＋i
答案　A
解析　方法一　利用复数的四则运算法则求解．
由zi＝1－i，得z＝＝－1＝－1－i.
方法二　利用复数相等的充要条件求解．
设z＝a＋bi(a，b∈R)，由zi＝1－i，
得(a＋bi)i＝1－i，即－b＋ai＝1－i.
由复数相等的充要条件得即
∴z＝－1－i.
3.若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　)
A．3＋5i
B．3－5i
C．－3＋5i
D．－3－5i
答案　A
解析　利用复数乘除法之间的关系及复数除法的分母实数化求解．
∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝＝＝＝3＋5i.
4．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1，
其中的真命题为(　　)
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p2，p4
D．p3，p4
答案　C
解析　利用复数的有关概念以及复数的运算求解．
∵z＝＝－1－i，∴|z|＝＝.
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题共有2个：p2，p4.
5．把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·＝(　　)
A．3－i
B．3＋i
C．1＋3i
D．3
答案　A
解析　(1＋z)＝(2＋i)(1－i)＝3－i.
6．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　D
解析　∵z＝＝＝＝－i，
∴复数z对应的坐标为(，－)，在第四象限．
7．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)
A．2
B．－2
C．－
D.
答案　A
解析　＝·＝，
∵为纯虚数，∴∴a＝2.
8．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是
(　　)
A．E
B．F
C．G
D．H
答案　D
解析　由图知复数z＝3＋i，
∴＝＝＝＝2－i.
∴表示复数的点为H.
9．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解析　(z1－2)(1＋i)＝1－i z1＝2－i，
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.