3.2.3 复数综合问题 同步练习（含答案）

3.2.3
复数综合问题
同步练习
一、选择题
1．复数z＝－2(sin
100°－icos
100°)在复平面内所对应的点Z位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：z＝－2sin
100°＋2icos
100°，因为－2sin
100°＜0，2cos
100°<0，所以点Z在第三象限．故选C.
答案：C
2．设i是虚数单位.是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入z·i＋2＝2z，整理得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，
则解得因此z＝1＋i.
答案：A
3．若复数z＝2
014，则lg|z|＝(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：z＝2
014＝i2
014，所以lg|z|＝lg|i2
014|＝lg
1＝0.故选B.
答案：B
4．复数z＝(a2＋1)＋ai(a∈R)在复平面上对应的点的轨迹方程是(　　)
A．x2＝y＋1
B．x2＝y－1
C．y2＝x＋1
D．y2＝x－1
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则消去a可得x＝y2＋1，所以复数z对应的点的轨迹方程是y2＝x－1.故选D.
答案：D
5．已知z1，z2是复数，以下四个结论正确的是(　　)
①若z1＋z2＝0，则z1＝0且z2＝0；
②|z1|＋|z2|＝0，则z1＝0且z2＝0；
③若z1＋＝0则z1＝0；
④若|z1|＝|z2|，则向量和
重合．
A．②
B．②③
C．②③④
D．②④
答案：A
二、填空题
6．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，所以解得所以a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
7．i2
015＋(＋i)4－10＝________.
解析：原式＝i4×503＋3＋[2(1＋i)2]2－5＝i3＋(2×2i)2－5＝－i－16－i5＝－16－2i.
答案：－16－2i
8．已知复数(a∈R)对应的点都在以原点为圆心，半径为的圆内(不包括边界)，则a的取值范围是_________________．
解析：因为＝＝＋i，所以复数(a∈R)对应的点为Z，又复数(a∈R)对应的点都在以原点为圆心，半径为的圆内
(不包括边界)，所以2＋2＜2，解得－2＜a＜2.
答案：(－2，2)
三、解答题
9．已知z是复数，z＋2i与均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，所以y＝－2.因为＝＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，所以
x＝4，则z＝4－2i.
因为(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限，所以解得2＜a＜6.∴a的取值范围是(2，6)．
10．实数为何值时，复数z＝m2＋(8m＋15)i＋：
(1)为实数？
(2)为虚数？
(3)为纯虚数？
(4)对应点在第二象限？
解析：z＝＋(m2＋8m＋15)i
(1)z为实数 m2＋8m＋15＝0且m＋5≠0，解得m＝－3.
(2)z为虚数
解得m≠－3且m≠－5.
(3)z为纯虚数 解得m＝2.
(4)z对应的点在第二象限
解得m＜－5或－3＜m＜2.