2.1.1
合情推理
同步练习
基础巩固强化
1．已知整数的数列如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…则第60个数对是( )
A．(3，8)
B．(4，7)
C．(4，8)
D．(5，7)
[答案] D
[解析] 观察可知横坐标与纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，…，依此类推和为n＋1的数对有n个，和相同的数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由＝60 n(n＋1)＝120，n∈N，n＝10时，＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1，
11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，
7)，
所以第60个数对是(5，7)．
2．若数列{an}是等差数列，bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，则dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．
[答案]
[解析] 可类比为dn＝，证明如下：
设等比数列{cn}的首项为c1，公比为q，则
dn＝＝(c1·c1q·…·c1qn－1)
＝[c·q]＝c1·q
①
dn＋1＝＝(c1·c1q·…·c1qn)
＝[c·q]＝c1·q
②
由②÷①得＝＝q为常数，
所以数列{dn}也为等比数列．
3．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是＋＝1(a>b>0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．
[答案] πab
[解析] 由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，即k＝，∴椭圆面积S＝πa2·＝πab.
4．已知命题：平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A(－p，0)和C(p，0)，顶点B在椭圆＋＝1(m>n>0，p＝)上，椭圆的离心率是e，则＝，试将该命题类比到双曲线中，给出一个结论．
[解析] 平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A(－p，0)和C(p，0)，顶点B在双曲线－＝1(m>0，n>0，p＝)上，双曲线的离心率是e，则＝.2.1.1
合情推理
同步练习
基础巩固强化
1．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( )
A．白色
B．黑色
C．白色的可能性大
D．黑色的可能性大
[答案]
A
[解析] 由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．
2．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是( )
A．编号1
B．编号2
C．编号3
D．编号4
[答案] D
[解析] 归纳得，四个小动物在换座过程中，每换座四次与原来的一样，即以4为周期，因此在2011次换座后，四个小动物的位置应该和第三次换座后的位置一样，即小兔的座位对应的编号为4，故选D.
3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是( )
①a5＝15；
②数列{an}是一个等差数列；
③数列{an}是一个等比数列；
④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N
)．
A．①②④
B．①③④
C．①②
D．①④
[答案] D
[解析] 由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{an}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.
4．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1、b2、b3，并归纳出bn的计算公式．
[解析] b1＝＝，
b2＝＝.
b3＝
＝，
∴归纳得bn＝.
5．观察等式：
sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15°
sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°
猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明．
[解析] 猜想：sinα＋sinβ＝2sincos.
下面证明：
左边＝sin(＋)＋sin(－)
＝(sincos＋cossin)＋(sincos－cossin)
＝2sincos＝右边．
所以原等式成立．
