2.1.1
合情推理
同步练习
一、选择题
1．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等
A．①
B．③
C．①②
D．①②③
答案：D
2．数列2，5，11，20，x，47，…中的x
等于( )
A．28
B．32
C．33
D．
27
解析：5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9推出x－20＝12，x＝32.故选B.
答案：B
3．观察下列各式：55＝3
125，56＝15
625，57＝78
125，…，则52
011的末四位数字为( )
A．3
125
B．5
625
C．0
625
D．8
125
答案：D
4．已知扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，类比三角形的面积公式：S＝×底×高，可得扇形的面积公式为( )
A.r2
B.l2
C.rl
D．不可类比
解析：将扇形与三角形类比为，把弧类比为底边，半径类比为高，所以扇形的面积公式为S＝rl.故选C.
答案：C
5．已知整数按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个数对是( )
A．(10，1)
B．(2，10)
C．(5，7)
D．(7，5)
解析：如图，根据题中规律，有(1，1)为第1项，(2，1)为第3项，(1，2)为第2项，(1，3)为第4项，…，(5，11)为第56项，因此第60项为(5，7)．
答案：C
二、填空题
6．已知x∈(0，＋∞)，观察下列几式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，……，类比有
x＋≥n＋1(n∈N
)，则a＝__________________.解析：根据已知等式类比可得a＝nn.
答案：
nn
7．已知两个圆：①x2＋y2＝1，②x2＋(y－3)2＝1，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为：________________________________________________________________________.
解析：将两圆的方程分别换为①(x－a)
2＋(y－b)2＝r2与②(x－c)2＋(y－d)2＝r2，按题中要求即可得到推广命题．
答案：设圆的方程为①
(x－a)2＋(y－b)2＝r2与②
(x－c)2＋(y－d)2＝r2(a≠c或b≠d)，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．
8．观察：
(1)tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°＝1；
(2)tan
5°tan
10°＋tan
10°tan
75°＋tan
75°tan
5°＝1.
由以上两式成立，推广得到的一般结论是__________________________．
解析：由已知两个式子可知，三个角之和为
90°，且这三个角都不是90°，由此可得一般结论．
答案：若α、β、γ都不是90°，且α＋β＋γ＝90°，则
tan
αtan
β＋tan
β
tan
γ
＋tan
αtan
γ＝1.
三、解答题
9．点P是三角形ABC内切圆的圆心，半径是r，三角形ABC的面积是(AB＋BC＋CA)r.类比写出三棱锥S ABC的一个相似的结论．
解析：假设点P是三棱锥SABC内切球的球心，半径是R，则三棱锥SABC体积是
(S△SAB＋S△SBC＋S△SCA＋S△ABC)R.
10．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N
)，写出它的前4项，并归纳出该数列的通项公式．
解析：a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，…，an＝(n－1)2.2.1.1
合情推理
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析： 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.
答案： C
2．根据给出的数塔猜测1
234
567×9＋8＝( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1
111
1
234×9＋5＝11
111
12
345×9＋6＝111
111
A．11
111
110
B．11
111
111
C．11
111
112
D．11
111
113
解析： 根据数塔的规律，后面加几结果就是几个1，
∴1
234
567×9＋8＝11
111
111.
答案： B
3．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9
D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析： 由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
答案： D
4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”( )
A．定值
B．变数
C．有时为定值、有时为变数
D．与正四面体无关的常数
解析： 设正四面体S－ABC的棱长为a，正四面体内任意一点O到各面的距离分别为h1，h2，h3，h4，由体积关系得VS－ABC＝·a2·
(h1＋h2＋h3＋h4)＝·a2·a
∴h1＋h2＋h3＋h4＝a(此为正四面体的高)．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a，b，则其面积S＝ab.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，类比上述结论可得此三棱锥的体积VP－ABC等于__________ .
解析： V＝Sc＝abc.
答案： abc
6．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，
四边形的内角和为(4－2)·180°，
五边形的内角和为(5－2)·180°，
…
所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tan
x是三角函数，所以y＝tan
x是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的；狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是________．(填序号)
解析： 根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案： (1)(3)(4)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线；…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
解析： 因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差数列求和公式可得n(n－3)(n≥4，n∈N
)．
所以凸n边形的对角线条数为n(n－3)(n≥4，n∈N
)．
8．从大、小正方形的数量关系上，观察如图所示的几何图形，试归纳得出的结论．
解析： 从大、小正方形的数量关系上容易发现：
1＝12，
1＋3＝2×2＝22，
1＋3＋5＝3×3＝32，
1＋3＋5＋7＝4×4＝42，
1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，
1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.
观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：
1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
9.已知在Rt
△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到
怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．
解析： 猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.猜想正确．
如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.而AF 平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt
△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt
△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
