2.2.1
综合法和分析法
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．欲证不等式－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
解析： 要证－<－成立，只需证＋<＋成立，只需证(＋)2<(＋)2成立．
答案： C
2．使不等式<成立的条件是( )
A．a>b
B．aC．a>b且ab<0
D．a>b且ab>0
解析： 要使<，须使－<0，即<0.
若a>b，则b－a<0，ab>0.
若a0，
ab<0.
答案： D
3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．a≤
B．ab≥
C．a2＋b2≥2
D．a2＋b2≤3
解析： ∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.
∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
答案： C
4．已知p＝a＋(a＞2)，q＝2－x2＋4x－2(x＞0)，则( )
A．p＞q
B．p＜q
C．p≥q
D．p≤q
解析： p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4.q＝2－x2＋4x－2＝2－(x－2)2＋2≤4.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．命题“函数f(x)＝x－xln
x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln
x取导得f′(x)＝－ln
x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln
x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．
解析： 该证明过程符合综合法的特点．
答案： 综合法
6．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是__________ .
解析： a＋b>a＋b a－a>b－b
a(－)>b(－) (a－b)(－)>0
(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案： a≥0，b≥0且a≠b
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在△ABC中，＝，证明：B＝C.
证明： 在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.
于是sin
Bcos
C－cos
Bsin
C＝0，
因sin(B－C)＝0，
因为－π所以B＝C.
8．已知a>0，b>0，求证：＋≥＋.
证明： 方法一：(综合法)因为a>0，b>0，所以＋－－＝＋＝＋＝(a－b)＝≥0，所以＋≥＋.
方法二：(分析法)要证＋≥＋，只需证a＋b≥a＋b，即证(a－b)(－)≥0，因为a>0，b>0，所以a－b与－符合相同，不等式(a－b)(－)≥0成立，所以原不等式成立．
?
9.
已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3.
证明： 证法一：(分析法)
要证＋＋>3.
只需证明＋－1＋＋－1＋＋－1>3，
即证＋＋＋＋＋>6，
而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数，
∴＋>2，＋>2，＋>2.
∴＋＋＋＋＋>6.
∴＋＋>3得证．
证法二：(综合法)
∵a，b，c全不相等
∴与，与，与全不相等．
∴＋>2，＋>2，＋>2，
三式相加得＋＋＋＋＋>6，
∴＋＋>3.
即＋＋>3.2.2.1
综合法和分析法
同步练习
一、选择题
1．下列表述：
①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
答案：C
2．在△ABC中，“·＞0”是“△ABC为锐角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
3．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( )
A．m⊥l，m∥α，l∥β
B．m⊥l，α∩β＝m，l α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β
D．m∥l，l⊥β，m α
解析：对于A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于C，这两个平面有可能平行或重合；对于D，根据面面垂直的判定定理知选项D是正确的，故选D.
答案：D
4．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( )
A．sin(α＋β)>sin
α＋sin
β
B．sin(α＋β)>cos
α＋cos
β
C．cos(α＋β)α＋sin
β
D．cos(α＋β)α＋cos
β
解析：取α＝30°，β＝30°，可知A，B不成立，取α＝β均趋近于0°，则α＋β→0°，此时cos(α＋β)→1，而sin
α→0，sin
β→0，显然C不成立．
答案：D
5．已知a、b是不相等的正数，x＝，y＝，则x、y的关系是( )
A．x＞y
B．x＜y
C．x＞y
D．不确定
解析：因为x＞0，y＞0，要比较x，y的大小，只需比较x2，y2的大小，
即比较与a＋b的大小，因为a、b为不相等的正数，所以2＜a＋b.所以＜a＋b，即x2＜y2，所以x＜y.故选B.
答案：B
二、填空题
6．已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是________．
解析：令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2，则由题意知f(1)＜0，即12＋(k－3)×1＋k2＜0，
解得－2＜k＜1.
答案：(－2，1)
7．命题“若sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0，cos
α＋
cos
β＋cos
γ＝0”，则cos(α－β)＝________.
解析：条件变为sin
α＋sin
β＝－sin
γ，cos
α＋
cos
β＝－cos
γ，两式平方相加可推得结论cos(α－β)＝－.
答案：－
8．若P＝＋，Q＝＋，a≥0，则P、Q的大小关系是________________________________________________________________________．
解析：用分析法，要证P答案：P三、解答题
9．已知a>0，－>1，求证：>.
证明：由已知－>1及a
>
0可知0
<
b
<
1，要证>，
只需证·>1，
只需证1＋a－b－ab>1，
只需证a－b－ab>0，即>1，
即－>1，这是已知条件，所以原不等式得证．
10．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明：由A，B，C成等差数列知，B＝，
由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac.
又a，b，c也成等差数列，∴b＝，代入上式得2＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C.
而B＝，则A＝B＝C＝，
从而△ABC为等边三角形．
