2.2.2
反证法
同步练习
一、选择题
1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )
A．有两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
答案：C
2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数
解析：恰有一个偶数的否定有两种情况：其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．
答案：D
3．下列命题不适合用反证法证明的是( )
A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交
B．两个不相等的角不是对顶角
C．平行四边形的对角线互相平分
D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.
解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明．选项C不适合用反证法证明．故选C.
答案：C
4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
答案：B
5．用反证法证明命题“若sin
θ＋cos
θ·＝1，则sin
θ≥0且cos
θ≥0”时，下列假设的结论正确的是( )
A．sin
θ≥0或cos
θ≥0
B．sin
θ＜0且cos
θ＜0
C．sin
θ＜0或cos
θ＜0
D．sin
θ＞0且cos
θ＞0
解析：由题意，考虑sin
θ≥0且cos
θ≥0的否定，由于sin
θ≥0且cos
θ≥0表示sin
θ，cos
θ都大于等于0成立，故其否定为sin
θ，
cos
θ不都大于等于0，选C.
答案：C
二、填空题
6．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设____________________．
解析：“a，b，c中至少有一个是偶数”的反面是“a，b，c都不是偶数”，故应假设a，b，c都不是偶数．
答案：a，b，c都不是偶数
7．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．
解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得
an＝bn，由题意a>b，n∈N
，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.
答案：0
8．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“a
y或x其中正确的叙述有__________(填序号)．
解析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y或xb”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．
答案：②
三、解答题
9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
证明：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则a，b，c同时为奇数或a，b同时为偶数，c为奇数．当n为奇数时，an2＋bn为偶数；当n为偶数时，an2＋bn也为偶数，即an2＋bn＋c＝0为奇数，与
an2＋bn＋c＝0矛盾．
所以f(x)＝0无整数根．
10．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x10，ax2－x1>1，且ax1>0.
所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.
又因为x1＋1>0，x2＋1>0，
所以－＝＝
>0.
于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负实根．
证明：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则ax0＝－.
又0与假设x0<0矛盾，故f(x)＝0没有负实根．2.2.2
反证法
同步练习
1．已知a、b、c∈(0，1)．求证：(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能同时大于.
[证明] 证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.≥＞＝，
同理＞，＞.
三式相加，得
＋＋＞，
即＞，矛盾．
所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于.
证法2：假设三个式子同时大于，即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，三式相乘得
(1－a)b(1－b)c(1－c)a>3①
因为0同理，0所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤3.②
因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
2．已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1<0(n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a－a(n≥1)．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
[解析] (1)由题意可知，1－a＝(1－a)．
令cn＝1－a，则cn＋1＝cn.
又c1＝1－a＝，则数列{cn}是首项为c1＝，公比为的等比数列，即cn＝·()n－1，
故1－a＝·()n－1 a＝1－·()n－1.
又a1＝>0，anan＋1<0，
故an＝(－1)n－1.
bn＝a－a＝[1－·()n]－[1－·()n－1]＝·()n－1.
(2)用反证法证明．
假设数列{bn}存在三项br，bs，bt(rbs>bt，则只可能有2bs＝br＋bt成立．
∴2·()s－1＝
()r－1＋()t－1，
两边同乘以3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s.
由于r