2.3
数学归纳法
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )
A．1＋a
B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3
D．1＋a＋a2＋a3＋a4
解析： 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
答案： C
2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)，从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需要增乘的代数式为( )
A．2(2k＋1)
B．2k＋1
C．
D．
解析： 当n＝k时，等式左端为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，
当n＝k＋1时，等式左端为(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋k)(k＋k＋1)(2k＋2)，
∴从n＝k推导到n＝k＋1时，左边需增乘的式子为2(2k＋1)．
答案： A
3．若命题A(n)(n∈N
)n＝k(k∈N
)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N
)时命题成立．则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
解析： 由题意知n＝n0时命题成立能推出n＝n0＋1时命题成立，由n＝n0＋1时命题成立，又推出n＝n0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定．
答案： C
4．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N
)( )
A．f(k)＋k－1
B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k
D．f(k)＋k－2
解析： 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．
猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，
则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．
解析： ∵210＝1
024>103，29＝512<93，
∴填10.
答案： 10
6．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N
)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N
，等式都成立．
上述证明的错误是________．
解析： 本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．
答案： 未用归纳假设
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．
证明： (1)当n＝1时，左边＝1－＝＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
当n＝k＋1时，1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋…＋＋＋，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)和(2)，知等式对所有n∈N＋都成立．
8．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N
)．
证明： (1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1，
∴≤1＋≤，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，
即n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有n∈N
都成立．
?
9.是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立，并证明你的结论．
解析： 将n＝1，2，3分别代入等式得方程组：
解得a1＝6，a2＝9，a3＝12，
设等差数列{an}的公差为d，则d＝3，从而an＝3n＋3.
故存在一个等差数列an＝3n＋3，
使得当n＝1，2，3时，等式成立．
下面用数学归纳法证明结论成立．
①当n＝1时，结论显然成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N
)时，等式成立，即a1＋2a2＋3a3＋…＋kak
＝k(k＋1)(k＋2)．
那么当n＝k＋1时，
a1＋2a2＋3a3＋…＋kak＋(k＋1)ak＋1
＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]
＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)
＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]
所以当n＝k＋1时结论也成立．
由①②知存在一个等差数列an＝3n＋3，
使得对任何自然数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)都成立．2.3
数学归纳法
同步练习
1．用数学归纳法证明某个命题时，左边为1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，从n＝k到n＝k＋1左边需增加的代数式为________．
[答案] (k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)
[解析] 当n＝k时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)．
当n＝k＋1时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)，所以从n＝k到n＝k＋1左式应增加(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)．
2．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即＝<＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[答案] D
[解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.
3．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－
(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N
)．
[证明] ①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N
都成立．
