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2.3
数学归纳法
学案
【学习目标】
1.
了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；
2.
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写；
3.
数学归纳法中递推思想的理解.
【学习内容】
一、课前预习(预习教材92-94页，找出疑惑之处)
复习1：在数列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式.
复习2：，当n∈N时，是否都为质数？
二、课堂互动探究:典例精析
变式训练
※
学习探究
探究任务：数学归纳法
问题：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
新知：数学归纳法两大步：
(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；
(2)归纳递推：假设n=k(k≥n0，
k∈N
)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
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原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
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试试：你能证明数列的通项公式这个猜想吗？
反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于研究与正整数有关的数学问题.
关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.
※
典型例题
例1用数学归纳法证明
变式：用数学归纳法证明
小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.
例2
用数学归纳法证明:
首项是，公差是的等差数列的通项公式是，前项和的公式是.
变式：用数学归纳法证明:
首项是，公比是的等差数列的通项公式是，前项和的公式是.()
小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题.
动手试试
练1.
用数学归纳法证明:当为整数时，
练2.
用数学归纳法证明:当为整数时，
三、总结提升
学习小结
1.
数学归纳法的步骤
2.
数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于研究与正整数有关的数学问题.
知识拓展
意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质，并提出了关于正整数的五条公理，后人称之为“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理.21教育网
三．课堂练习及课后作业
1.
用数学归纳法证明：
，在验证时，左端计算所得项为
A.1
B.
C.
D.
2.
用数学归纳法证明
时，从n=k到n=k+1，左端需要增加的代数式为
A.
B.
C.
D.
3.
设，那么等于(
)
A.
B.
C.
D.
4.
已知数列的前n项和，而，通过计算，猜想
.
5.
数列满足，且()，则
.
6.
用数学归纳法证明:
7.
用数学归纳法证明:
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2.3
数学归纳法
学案
【学习目标】
1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写；
2.数学归纳法中递推思想的理解.
【学习内容】
一、课前预习(预习教材94-95页，找出疑惑之处)
复习1：数学归纳法的基本步骤？
复习2：数学归纳法主要用于研究与
有关的数学问题.
二、课堂互动探究:典例精析
变式训练
学习探究
探究任务：数学归纳法的各类应用
问题：已知数列，猜想的表达式，并证明.
新知：数学归纳法可以应用于：(1)数列的先猜后证；(2)证明不等式；(3)证明整除性问题；(4)证明几何问题.(5)证明与n有关恒等式21世纪教育网版权所有
试试：已知数列，计算，由此推测计算的公式.
反思：用数学归纳法证明时，要注意从时的情形到的情形是怎样过渡的.
典型例题
例1平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分
变式：证明凸边形的对角线的条数
小结：用数学归纳法证明几何问题的关键是找项，即几何元素从到所证的几何量增加多少.
例2
证明:能被6整除.21世纪教育网
变式：证明:能被整除.
小结：数学归纳法证明整除性问题的关键是凑项，而采用增项、减项、拆项和因式分解的手段，凑出的情形，从而利用归纳假设使问题获证.21教育网
动手试试
练1.
已知，求证:
三、总结提升
学习小结
1.
数学归纳法可以证明不等式、数列、整除性等问题；
2.
数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于研究与正整数有关的数学问题.
知识拓展
不是所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，例如用数学归纳法证明的单调性就难以实现.
三．课堂练习及课后作业
1.
使不等式对任意的自然数都成立的最小值为(
)
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
2.
若命题对n=k成立，则它对也成立，又已知命题成立，则下列结论正确的是21世纪教育网
A.
对所有自然数n都成立
B.
对所有正偶数n成立
C.
对所有正奇数n都成立
D.
对所有大于1的自然数n成立
3.
用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为
A.
7
B.
8
C.
9
D.
10
4.
对任意都能被14整除，则最小的自然数=
.
5.
用数学归纳法证明等式
时，当时左边表达式是
；从需增添的项的是
.
6.
给出四个等式:
1=1
1-4=-(1+2)
1-4+9=1+2+3
1-4+9-16=-(1+2+3+4)
……
猜测第个等式，并用数学归纳法证明.
7.
用数学归纳法证明:
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