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2.3.1
数学归纳法
学案
【学习目标】
1.
了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；
2.
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写；
3.
数学归纳法中递推思想的理解.
【学习重点】
数学归纳法的原理
【学习难点】
数学归纳法的操作步骤及应用
【预习自测】
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________________时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n=k(kno，kN+)时命题成立，证明当_________________时命题也成立.21世纪教育网版权所有
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从___________________________开始的所有正整数n都成立.21教育网
上述证明方法叫做数学归纳法.
课内探究
探究任务：数学归纳法
问题：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
探究
教材69页的证明(
)
新知：数学归纳法两大步：
(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；
(2)归纳递推：假设n=k(k≥n0，
k∈N
)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
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原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
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试试：你能证明数列的通项公式这个猜想吗？
反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于研究与正整数有关的数学问题.
关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.
※
典型例题
例1
用数学归纳法证明
如果{an}是一个等差数列，公差为d，那么对一切都成立
变式：用数学归纳法证明：首项是，公比是q的等比数列的通项公式是：
小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.
例2用数学归纳法证明：
变式：用数学归纳法证明:当为整数时，
小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题.
当堂检测
1.
使不等式对任意的自然数都成立的最小值为(
)
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
2.
若命题对n=k成立，则它对也成立，又已知命题成立，则下列结论正确的是
A.
对所有自然数n都成立
B.
对所有正偶数n成立
C.
对所有正奇数n都成立
D.
对所有大于1的自然数n成立
3.
用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为(
)
A.7
B.
8
C.
9
D.
10
4.
对任意都能被14整除，则最小的自然数=
.
5.用数学归纳法证明:当为整数时，
课后训练
1.
用归纳猜想平面上n个圆最多有多少个交点，并用数学归纳法证明你的猜想.
2.
用数学归纳法证明:
等差数列的前项和的公式是.和等比数列的前n项和公式是
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2.3.2
数学归纳法应用举例
学案
【学习目标】
1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写；
3.数学归纳法中递推思想的理解.
【学习重点】
数学归纳法
【学习难点】
数学归纳法应用.
【预习自测】
复习1：
数学归纳法是合情推理和是演绎推理？
复习2：
数学归纳法主要步骤：
【课内探究】
※
典型例题
例1
用数学归纳法证明：能被整除()
变式：用数学归纳法证明能被整除()
例2
用数学归纳法证明
变式：用数学归纳法证明
【当堂检测】
1.
用数学归纳法证明：
，在验证时，左端计算所得项为
A.1
B.
C.
D.
2.
用数学归纳法证明时，从n=k到n=k+1，左端需要增加的代数式为
A.
B.
C.
D.
3.
设，那么等于(
)
A.
B.
C.
D.
4.
已知数列的前n项和，而，通过计算，猜想
课后训练
1.
用数学归纳法证明:
(且)
2.
用数学归纳法证明
(1)能被6整除
(2)能被13整除
3.
用数学归纳法证明:
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