3.1.1
数系的扩充和复数的相关概念
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．a＝0是复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： a＝0时，a＋bi不一定为纯虚数，因为a＝0，b＝0时，a＋bi＝0，当a＋bi为纯虚数时a＝0.
答案： B
2．适合x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为( )
A．x＝0且y＝3
B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝2
D．x＝3且y＝0
解析： 由得故选A.
答案： A
3．复数(2x2＋5x＋2)＋(x2＋x－2)i为虚数，则实数x满足( )
A．x＝－
B．x＝－2或x＝－
C．x≠－2
D．x≠1且x≠－2
解析： 依题意得x2＋x－2≠0，解得x≠1且x≠－2.
答案： D
4．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析： ①由于x，y∈C，
所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题．
③当x＝1，y＝i时，
x2＋y2＝0成立，
∴③是假命题．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1>z2，则a的取值集合为________．
解析： ∵z1＞z2，∴
∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}．
答案： {0}
6．若a－2i＝bi＋1(a、b∈R)，则b＋ai＝________.
解析： 根据复数相等的充要条件，得，
∴b＋ai＝－2＋i.
答案： －2＋i
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．设m∈R，复数z＝2m2－3m－2＋(m2－3m＋2)i.试求m为何值时，z分别为：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
解析： (1)当z为实数时，则有m2－3m＋2＝0，
解得m＝1或2.即m为1或2时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有m2－3m＋2≠0，解得m≠1且m≠2.即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有，
解得m＝－，即m＝－时，z是纯虚数．
8．已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x－1)＋(3－y)i＝y－i，求x，y.
解析： 因为y是纯虚数，可设y＝bi(b∈R，且b≠0)，
则(2x－1)＋3i＋b＝bi－i＝(b－1)i，
整理得(2x－1＋b)＋3i＝(b－1)i.
由复数相等的充要条件得
解得所以x＝－，y＝4i.
9.已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩N?M，M∩N≠ ，求整数a，b.
解析： 依题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i.②
由①，得a＝－3，b＝±2，
经检验，a＝－3，b＝－2不合题意，舍去．
∴a＝－3，b＝2.
由②，得a＝±3，b＝－2.
又a＝－3，b＝－2不合题意．
∴a＝3，b＝－2.
综上，a＝－3，b＝2，或a＝3，b＝－2.3.1.1
数系的扩充和复数的相关概念
同步练习
1．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A．2kπ－
B．2kπ＋
C．2kπ±
D．＋(以上k∈Z)
[答案] B
[解析] 由得(k∈Z)．
∴θ＝2kπ＋.选B.
2．已知A＝{1，2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________________．
[答案] －1
[解析] 以A∩B＝{3}为解题突破口，按题意a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3，
∴解得a＝－1.
3．已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i>0，则实数x＝________.
[答案] 1
[解析] 复数z能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知解得x＝1.
4．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．实数a取什么值时，
z是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[解析] (1)当z为实数时，则有
所以
所以当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有
所以
即a≠±1且a≠6.
所以当a∈(－∞，－1)∪
(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有
所以
所以不存在实数a使得z为纯虚数．
5．已知z1＝＋i，z2＝cosβ＋isinβ，且z1＝z2，求cos(α－β)的值．
[解析] 由复数相等的充要条件，知
即
①2＋②2得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1，
即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝.
