3.1.2
复数的几何意义
同步练习
1．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3
B．1
C．3
D．2
[答案] A
[解析] 依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A.
2．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量的模||等于( )
A.
B．2
C．4
D．
[答案] D
[解析] 由于OABC是平行四边形，故＝，
因此||＝||＝|3－2i|＝，故选D.
3．当(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵＜m＜1，∴3m－2>0，m－1＜0，
∴点(3m－2，m－1)在第四象限．
4．已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝sinθ＋icosθ，当θ为何值时
(1)z1＝z2；
(2)z1、z2对应点关于x轴对称；
(3)|z2|<.
[解析] (1)z1＝z2
θ＝2kπ＋(k∈Z)．
(2)z1与z2对应点关于x轴对称
θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(3)|z2|< <
3sin2θ＋cos2θ<2 sin2θ<
kπ－<θ复数的几何意义
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： 复数z1＝2－ai对应的点为(2，－a)，它在直线x－3y＋4＝0上，故2＋3a＋4＝0，解得a＝－2，于是复数z2＝－2＋2i，它对应点的点在第二象限，故选B.
答案： B
2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是( )
A．(1，)
B．(1，)
C．(1，3)
D．(1，5)
解析： |z|＝，
∵0＜a＜2，
∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．
答案： B
3．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为( )
A．1－2i
B．－1＋2i
C．3＋4i
D．－3－4i
解析： 由题意知＝(2，1)，＝(－1，－3)．
＝＋＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)，
∴对应的复数为－3－4i.
答案： D
4．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应点的轨迹是( )
A．一条直线
B．两条直线
C．圆
D．椭圆
解析： 设z＝x＋yi，
∵|z－i|＝|3＋4i|，
∴＝5.
则x2＋(y－1)2＝25，
∴复数z对应点的轨迹是圆．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．复平面内长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C所对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数为________．
解析： 由题意可知A
(2，3)，B(3，2)，C(－2，－3)，设D(x，y)，则＝，即(x－2，y－3)＝(－5，－5)，解得故D点对应的复数为－3－2i.
答案： －3－2i
6．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是________．
解析： ∵|z1|＝，
|z2|＝，
∴＜，∴－1＜a＜1.
答案： (－1，1)
三、解答题(每小题10分，共20分)[]
7．写出如图所示复平面内各点所表示的复数(每个正方格的边长为1)．
解析： 如题图所示，点A的坐标为(4，3)，
则点A对应的复数为4＋3i.
同理可知点B，C，F，G，H，O对应的复数分别为：
3－3i，－3＋2i，－2，5i，－5i，0.
8．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i.则当m为何值时，
(1)z∈R？
(2)z是纯虚数？
(3)z对应的点位于复平面第二象限？
(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上？
解析： 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z∈R；当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；当a＜0，b＞0时，z对应的点位于复平面的第二象限；复数z对应的点的坐标是直线方程的解，则这个点就在这条直线上．
(1)由m2＋2m－3＝0且m－1≠0，得m＝－3.故当m＝－3时，z∈R.
(2)由
解得m＝0，或m＝－2.
故当m＝0，或m＝－2时，z为纯虚数．
(3)由解得m＜－3.
故当m＜－3时，z对应的点位于复平面的第二象限．
(4)由＋(m2＋2m－3)＋3＝0，
解得m＝0或m＝－2.
故当m＝0或m＝－2时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
9.已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
解析： (1)|z1|＝|＋i|＝＝2，
|z2|＝
＝1，
∴|z1|>|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．
