3.2.1
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若复数z1＝1＋5i，z2＝－3＋7i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： z＝z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋7i)＝4－2i.
答案： D
2．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于( )
A．－3i
B．3i
C．±3i
D．4i
解析： 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，∴a＝0，b＋3≠0.又|z|＝3，∴b＝3，z＝3i.
答案： B
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
解析： 依题意有＝＝－.21世纪教育网
而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，
而对应的复数为4－2i，
故选D.
答案： D
4．|(3＋2i)－(1＋i)|表示( )
A．点(3，2)与点(1，1)之间的距离
B．点(3，2)与点(－1，－1)之间的距离
C．点(3，2)到原点的距离
D．以上都不对
解析： 由减法的几何意义可知．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．复数z1＝cos
θ＋i，z2＝sin
θ－i，则|z1－z2|的最大值为__________
解析： |z1－z2|＝|(cos
θ－sin
θ)＋2i|
＝
＝
＝≤.
答案：
6．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________.
解析： x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i
∴解得
答案： 6 11
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(1)z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i.求z1＋z2，z1－z2；
(2)计算：＋(2－i)－；
(3)计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2
008＋2
009i)＋(2
009－2
010i)．
解析： (1)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
(2)＋(2－i)－
＝＋i＝1＋i.
(3)方法一：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2
008＋2
009i)＋(2
009－2
010i)
＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2
007－2
008)＋2
009]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2
008＋2
009)－2
010]i
＝(－1
004＋2
009)＋(1
004－2
010)i＝1
005－1
006i.
方法二：(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，(2
007－2
008i)＋(－2
008＋2
009i)＝－1＋i.
相加(共有1
004个式子)，得
原式＝1
004(－1＋i)＋(2
009－2
010i)＝(－1
004＋2
009)＋(1
004－2
010)i＝1
005－1
006i.
8．复平面内有A，B，C三点，点A对应复数是2＋i，向量对应复数是1＋2i，向量对应复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．
解析： ＝－＝(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，
设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，
∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，
故x＝4，y＝－2.
∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．
?
9.在复平面内，A，B，C三点对应的复数1，2＋i，－1＋2i.D为BC的中点．
(1)求向量对应的复数；
(2)求△ABC的面积．
解析： (1)由条件知在复平面内B(2，1)，C(－1，2)．
则D，点D对应复数是＋i，
＝－＝－(1，0)＝，
∴对应复数为－＋i.
(2)＝－＝(1，1)，||＝，
＝－＝(－2，2)，||＝＝2，
＝－＝(－3，1)，||＝，
∴||2＝||2＋||2，[]
∴△ABC为直角三角形．
∴S△ABC＝||·||
＝·2
＝2.3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
同步练习
一、选择题
1．已知复数z1＝2＋i，
z2＝1＋2i，
则复数z＝z2－z1在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：B
2．复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数3＋4i和5－2i，那么向量对应的复数为( )
A．3＋4i
B．5－2i
C．－2＋6i
D．2－6i
答案：D
3．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于( )
A．1＋i
B．－1＋i
C．1－i
D．－1－i
解析：设x＝ai(a∈R)，原方程化为2ai－1＋i＝y－(3－y)i，即－1＋(2a＋1)i＝
y－(3－y)i，
得
－1＝y，
2a＋1＝－(3－y)．
解得
a＝－，y＝－1，选D.
答案：D
4．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A．一条直线
B．两条直线
C．圆
D．椭圆
解析：因为|3＋4i|＝＝5，所以|z－i|＝5，
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则有＝5，
即x2＋(y－1)2＝25.故选C.
答案：C
5．复数z1＝1＋icos
θ，z2＝sin
θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．3－2
B.－1
C．3＋2
D.＋1
解析：|z1－z2|＝|(1＋icos
θ)－(sin
θ－i)|＝
＝＝
≤＝＋1.故选D.
答案：D
二、填空题
6．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝________________________________________________________________________.
答案：4＋i
7．已知|z|＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝________.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.
由题意知得或所以z＝2±i.
答案：2±i
8．如图，平行四边形顶点A，B，C所对应的复数分别为i，1，4＋2i
(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
(1)向量对应的复数为____________；
答案：－1＋i
(2)向量对应的复数为____________；
答案：3＋2i
(3)向量对应的复数为____________；
答案：2＋3i
(4)点D坐标是____________．
答案：(3，3)
三、解答题
9．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，求f(z1＋z2)的值．
解析：因为z1＝－2＋4i，z2＝5－i，
所以z1＋z2＝
(－2＋4i)＋(5－i)＝3＋3i.
于是f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝(3＋3i)－3i＋|3＋3i|＝3＋3.
10．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A，B两点间的距离．
解析：向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.
∵＝－，∴向量对应的复数为
(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.
∴A，B两点间的距离为
|－8－2i|＝＝2.
