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3.2.2
复数代数形式的乘除运算
同步练习
1．复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．－1－i
B．－1＋i
C．1－i
D．1＋i
[答案] A
[解析] z＝i(i＋1)＝－1＋i的共轭复数是＝－1－i.
2．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝( )
A．－2
B．－
C.
D．2
[答案] D
[解析] (1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i，
∵此复数为纯虚数，∴b＝2.
3．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
[答案] A
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由z·i＋2＝2z，得(x2＋y2)i＋2＝2(x＋yi)＝2x＋2yi，21世纪教育网版权所有
∴∴∴z＝1＋i，故选A.
4．对于n个复数z1、z2、…、zn，如果存在n个不全为零的实数k1、k2、…、kn，使得k1z1＋k2z2＋…＋knzn＝0，就称z1、z2、…、zn线性相关．若要说明复数z1＝1＋2i，z2＝1－i，z3＝－2线性相关，那么可取{k1，k2，k3}＝________.(只要写出满足条件的一组值即可)
[答案] {1，2，}或{2，4，3}等
[解析] 由k1z1＋k2z2＋k3z3＝0得k1(1＋2i)＋k2(1－i)＋k3(－2)＝0，
即(k1＋k2－2k3)＋(2k1－k2)i＝0.
∴
∴k1?k2?k3＝1?2?.
故填{1，2，}或{2，
4，3}等．
5．设关于x的方程是x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0.
(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；
(2)证明：对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．
[解析] (1)设实数根是a，则a2－(tanθ＋i)a－(2＋i)＝0，即a2－atanθ－2－(a＋1)i＝0，21教育网
∵a、tanθ∈R，∴
∴a＝－1，且tanθ＝1，又0<θ<，∴θ＝
.
(2)若方程存在纯虚数根，设为bi(b∈R，b≠0)，
则(bi)2－(tanθ＋i)bi－(2＋i)＝0，
化简整理得－b2＋b－2－(btanθ＋1)i＝0.
即此方程组无实数解，
∴对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．
6．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c∈R)．
(1)求b、c的值；
(2)试证明1－i也是方程的根．
[解析] (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(2＋b)i＝0，
∴，解得.
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得
左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立
∴1－i也是方程的根．
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3.2.2
复数代数形式的乘除运算
教案
一、教学目标：
掌握复数的乘法和除法的运算法则及共轭复数的概念
二、教学重点：
掌握复数的乘法的运算及共轭复数的概念
三、教学难点：
复数的除法运算法则
四、教学过程
(一)导入新课：
复习复数的加减法及其几何意义
(二)推进新课：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，我们规定：
1、乘法运算法则：
复数z1z2的积为：(a+bi)(c+di)=
(ac－bd)+(bc+ad)i.
可以看出，两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.21世纪教育网版权所有
2、乘法运算律：
(1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3
(2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
3、例题讲解：
例1、计算：(1-2i)(3+4i)(-2+i)
例2、计算：
(1)(3+4i)
(3-4i)
；
(2)(1+
i)2.
4、共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
通常记复数的共轭复数为.
5、除法运算法则：
在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，化简后写成代数形式(分母实数化).21教育网
6、例题讲解：
例3、计算：.
(三)课堂练习：
1、计算
(1)
(2)
2、补充例题：
计算下列各式的值：
______，
(四)课堂小结：
复数的乘除运算法则及共轭复数的概念
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