3.2.2
复数代数形式的乘除运算
同步练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知i为虚数单位，z＝，则复数z对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： z＝＝
＝＝＋i.
∴复数z对应的点为，位于第一象限．
答案： A
2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝( )
A．
B．
C．1
D．2
解析： 方法一：|z|＝＝
＝＝.
∴z＝|z|2＝，
故选A.
方法二：z＝＝
＝
＝＝
＝.
则＝－－i，
z·＝
＝＋＝，
故选A.
答案： A
3．已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋i，若z1·z2为纯虚数，则实数a的值为( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析： 因为z1·z2＝(a－1)＋(a＋1)i为纯虚数，
所以，解得a＝1.
答案： B
4．已知i是虚数单位，2
012等于( )
A．－1
B．1
C．i
D．－i
解析： ∵＝＝＝－i，
∴2
012＝(－i)2
012＝i503×4＝i4＝1.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知复数z＝，则复数z的共轭复数为________．
解析： z＝＝＝－i＋1，
∴＝1＋i.
答案： 1＋i
6．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝__________.
解析： 利用复数相等的条件求出a，b的值．
＝
＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i.
∴解得∴a＋b＝3.
答案： 3
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．计算：(1)i2
009＋(＋i)8－50＋；
(2)＋(2＋i)·(1－i)．
解析：
(1)i2
009＝i4×502＋1＝i，(＋i)8＝[2(1＋i)2]4＝(4i)4＝44＝256，50＝25＝25＝(－i)25＝－i，＝＝i，
所以原式＝i＋256＋i＋i＝256＋3i.
(2)原式＝＋3－i2－i
＝i(－1－2i)＋4－i
＝－i＋2＋4－i＝6－2i.
8．已知复数z满足＝2i，求复数z对应点坐标．
解析： 方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则＝＝2i，
得x＋yi＝－2y＋2(x－1)i，
则 ，
则复数z＝－i.
即复数z对应点为.
方法二：由＝2i，得z＝(z－1)2i＝2zi－2i，
则z(1－2i)＝－2i，
∴z＝＝
＝＝－i.
即z对应点为.
?
9.已知z＝1＋i，a，b为实数．
(1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；
(2)若＝1－i，求a，b的值．
解析： (1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，
所以|ω|＝.
(2)由条件，得＝1－i，
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，
所以解得3.2.2
复数代数形式的乘除运算
同步练习
一、选择题
1．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A．(2，4)
B．(2，－4)
C.
(4，－2)
D．(4，2)
解析：z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.
答案：C
2．若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i
B．2－i
C．5＋i
D．5－i
解析：由(z－3)(2－i)＝5得，z－3＝＝2＋i，所以
z＝5＋i，所以＝5－i.故选D.
答案：D
3．设a，b，c，d∈R，则复数(a＋bi)(c＋di)为实数的充要条件是( )
A．ad－bc＝0
B．ac－bd＝0
C．ac＋bd＝0
D．ad＋bc＝0
解析：a，b，c，d∈R，复数(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i为实数，∴ad＋bc＝0，选D.
答案：D
4．已知复数z＝1＋i，则＝( )
A.－i
B.＋i
C．－－i
D．－＋i
答案：A
二、填空题
5．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(其中i为虚数单位)，则z的模为________．
解析：z(2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i与3＋2i的模相等，z的模为2.
答案：2
6．已知复数z＝(是虚数单位)，则|z|＝________________.
解析：|z|＝＝＝.
答案：
7.
设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a＝_________________.
解析：＝·＝，因为为纯虚数，所以所以a＝2.
答案：2
8．若复数z满足|z|－＝，则z＝________.
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则有－a＋bi＝2＋4i.所以得a＝3，b＝4.
所以z＝3＋4i.
答案：3＋4i
三、解答题
9．已知复数3z－对应的点落在射线y＝－x(x≤0)上，|z＋1|＝，求复数z.
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则3z－＝3a＋3bi－a＋bi＝2a＋4bi，由题意得①
又由|z＋1|＝，得(a＋1)2＋b2＝2，②
由①，②解得所以z＝－2＋i.
10.
复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限内，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解析：z＝＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①
因为复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，所以|z|＝|z－|，把z＝－2a－2bi代入化简，得|b|＝1.②
又因为z点在第一象限内，所以a＜0，b＜0.
由①②，得故所求a＝－，b＝－1.
