湘教版九年级数学上册第四章锐角三角函数教案（共13课时）

第四章
锐角三角函数
第一课时（总第52课时）
课题：锐角三角函数（1）
教学目标：
1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
能根据正弦概念正确进行计算
2、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
3、通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样算出的吗？
二、探索新知、分类应用
问题一、为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB
根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
问题二、如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？（学生思考）
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。
问题三、一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C`
=90o，∠A=∠A`=α，那么与有什么关系
分析：由于∠C=∠C`
=90o，∠A=∠A`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，
，即
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
活动二、认识正弦
如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c。
师：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA。
板书：sinA＝
（举例说明：若a=1,c=3,则sinA=）
【注意】：1、sinA不是
sin与A的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF
3、sinA
是线段之间的一个比值；sinA
没有单位。
提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
活动三、正弦简单应用
例1
如课本图在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA的值．
教师对题目进行分析：求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；所以解题时应先求斜边的高．
三、总结消化、整理笔记
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。
四、书写作业、巩固提高
作业：P111练习．
第二课时（总第53课时）
课题：锐角三角函数（2）
教学目标：
知识与技能：
1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比．
2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．
过程与方法：
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
情感态度与价值观：
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
重难点：
1．理解余弦、正切的概念．
2．难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习】
1、口述正弦的定义
2、（1）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．
则sin∠BAC=
；sin∠ADC=
．
（2）﹙2006成都﹚如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（
）
A．
B．
C．
D．
二、探索新知、分类应用
【活动一】余弦、正切的定义
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C`
=90o，∠B=∠B`=α，
那么与有什么关系？
分析：由于∠C=∠C`
=90o，∠B=∠B`=α，
所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，
，即
结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,即
锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.
【活动二】余弦、正切简单应用
教师解释课本第78页例
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )2题意：如课本图28．1-7，在Rt△ABC中，
∠C=90°，BC=6，sinA=HYPERLINK
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网"，求cosA、tanB的值．
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\o
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教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )角三角形中一条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．
教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．
三、总结消化、整理笔记
在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．
分析
本题主要考查锐解三角函数及三角变换知识。其思路是：依据条件
四、书写作业、巩固提高
课本第116页1、2、3题．
第三课时（总第54课时）
课题：锐角三角函数（3）
教学目标：
1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．
2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系
3、通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
4、引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯，让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．
重点：三个锐角三角函数间几个简单关系．
难点：能独立根据三角函数的定义推导出三个锐角三角函数间几个简单关系．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习】叫学生结合直角三角形说出正弦、余弦、正切的定义
二、探索新知、分类应用
【活动一】锐角三角函数间几个简单关系
讨论：1、从定义可以看出与有什么关系？与呢？
满足这种关系的与又是什么关系呢？
2、利用定义及勾股定理你还能发现与的关系吗？
3、再试试看与和存在特殊关系吗？
经过教师引导学生探索之后总结出如下几种关系：
结论：（1）若
那么=或=
（2）
（3）
4、在正弦中它的值随锐角的增大而增大还是随锐角的增大而减少？为什么？余弦呢？正切呢？
通过一番讨论后得出：
结论：（1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)；
（2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)；
（3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。
【活动二】题型分析
(1)判断题：
1、
对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1
（
）
2、
对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2
（
）
3、
如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2I （
）
4、
如果cosα1＜cosα2，那么锐角α1＞锐角α2 （
）
（2）在Rt△ABC中，下列式子中不一定成立的是______
A．sinA＝sinB
B．cosA＝sinB
C．sinA＝cosB
D．sin(A+B)＝sinC
（3）
（4）sin272°+sin218°的值是（
）．
A．1
B．0
C．
D．HYPERLINK
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三、总结消化、整理笔记
1、一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系：
=或=
2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系：
3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系
4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况
四、书写作业、巩固提高
P116
A
4、5、6
第四课时（总第55课时）
课题：锐角三角函数（4）
教学目标：
1．能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．
2．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．并且进行运算．
3、让学生经历观察、操作等过程，知道特殊三角函数值，从事锐角三角函数基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，增强审美意识．
重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．
难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
引入、还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即，
你还能推导出的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？
二、探索新知、分类应用
【活动一】30°、45°、60°角的三角函数值
【探索】1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia
30°
cos45°
tan60°归纳结果
30°
45°
60°
siaA
cosA
tanA
【活动二】巩固知识
例
求下列各式的值：
1．师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值．
（1）cos260°+sin260°．
（2）HYPERLINK
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网"-tan45°．
教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．
2．师生共同完成课本第119页例4：教师解答题意：
（1）如课本图28．1-9（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．
（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．
教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．
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\o
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【活动三】提高知识
1、tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+·tan30°
2、已知sinA，sinB是方程4x2-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A，∠B是直角三角形的两个锐角，求：
（1）m的值；（2）∠A与∠B的度数．
三、总结消化、整理笔记
本节课应掌握：
30°、45°、60°角的三角函数值，并且进行计算；
四、书写作业、巩固提高
P120
A
1、2、3
第五课时（总第56课时）
课题：锐角三角函数（5）
教学目标：
1．让学生熟识计算器一些功能键的使用．
2．会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角．自己熟悉计算器，在老师的知道下求一般锐角三角函数值．
3、让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会函数的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．
重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．
难点：正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】
通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？
我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。
二、探索新知、分类应用
【活动一】用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值
利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）
sin37°24′
sin37°23′
cos21°28′
cos38°12′
tan52°；
tan36°20′；
tan75°17′；
【活动二】熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.
例如：sinA=0.9816.∠A＝??????
；
cosA＝0.8607，∠A＝??????
；
tanA＝0.1890，∠A=??????
；
tanA＝56.78，∠A＝??????
。
【活动三】知识提高
1．求下列各式的值：
（1）sin42°31′
（2）cos33°18′24″
（3）tan55°10′
2．根据所给条件求锐角α．
（1）已知sinα=0.4771，求α．（精确到1″）
（2）已知cosα=0.8451，求α．（精确到1″）
（3）已知tanα=1.4106，求α．（精确到1″）
3．等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=108°，腰AC=10m，求底边AB的长及等腰三角形的面积．（边长精确到1cm）
三、综合练习
1、如图，△ABC中，∠B=90 ，∠C=30 ，点D是BC的中点，求∠DAC的正弦值。
2、计算下列各题：
3、已知如图，在△ABC中∠B
=
45°,
∠C
=
60°，AB
=
8
，求AC的长。
4、如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°，sinB=
，
点D在BC边上，且∠ADC=45°，AC=6，求sin∠BAD的值。
四、书写作业、巩固提高
P116
B
P120
B
第六课时（总第57课时）
课题：解直角三角形
教学目标：
1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．．
4、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重点：直角三角形的解法．
难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题。
见课本在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．
sin=HYPERLINK
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网"≈0.0954．
所以∠A≈5°08′．
二、探索新知、分类应用
【活动一】理解直角三角形的元素
【提问】1．在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？
( http: / / www.21cnjy.com"
\o
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总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，既3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的以知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

【活动二】直角三角形的边角关系
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
(2)三边之间关系

a2
+b2
=c2
(勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
【活动三】解直角三角形
例1：在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，
a=，解这个三角形．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
例2：在Rt△ABC中，
∠B
=35，b=20，解这个三角形（结果保留小数点后一位．
引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。
在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。
总结：完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
例3
在四边形ABCD中，∠
A=60°
，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=20，CD=10，求AD，BC的长.

三、练习1、
在Rt△ABC中，∠C
=
90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.
(1)
已知a=3，b=3，则∠A=
；
(2).
已知c=8，b=4，则a=
，∠A=
；
(3).
已知c=8，∠A=45°，则a=
，b=
.
2、在Rt△ABC中，∠C
=
90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.根据下列条件解直角三角形：
(角度精确到1′，长度精确到
0.01cm).
(1).
∠B
=
45°，b=3cm，(2).
a=5.82cm，c=9.60cm
3、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=√3．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°求△ABC的周长和面积（结果保留根号）
四、总结消化、整理笔记
本节课应掌握：
1．理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系；
2．解决有关问题；
四、书写作业、巩固提高
P123练习、习题
第七课时（总第58课时）
课题：解直角三角形应用（1）
教学目标：
1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。
3、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
难点：实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习引入】
1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．
2、在中Rt△ABC中已知a=12
,c=13
求角B应该用哪个关系？请计算出来。
二、探索新知、分类应用
1、某探险者某天到达如图所示的点A
处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500
m
的山峰顶点B处的水平距离.
他能想出一个可行的办法吗？
例：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足，
(如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.
1
m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4
m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子
引导学生先把实际问题转化成数学模型
然后分析提出的问题是数学模型中的什么量
在这个数学模型中可用学到的什么知识来求
未知量？
几分钟后，让一个完成较好的同学示范。
三、练习：
1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，
且△ABD是等边三角形。若AB=2，
求△ABC的周长。（结果保留根号）
2、如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1米,
).
3、如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板
（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，
若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，
则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
四、总结消化、整理笔记
本节课应掌握：
1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
五、书写作业、巩固提高
作业：P126练习
P129
A
3、
第八课时（总第59课时）
课题：解直角三角形应用（2）
教学目标：
1、使学生了解什么是仰角和俯角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题．
3、锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力注意数形结合，注意体现数与形之间的联系．分析问题，提高分析问题的能力，体会成功的喜悦．
重点：用三角函数有关知识解决观测问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？
（三种，重叠、向上和向下）
结合示意图给出仰角和俯角的概念
二、探索新知、分类应用
例1
如图，在离上海东方明珠塔底部1000
m
的A
处，
用仪器测得塔顶的仰角∠BAC
为25°，
仪器距地面高AE
为1.7
m．
求上海东方明珠塔的高度BD（结果精确到1
m）.
分析：在直角三角形中，已知一角和它的邻边，
求对边利用该角的正切即可.
例2、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120
m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)
老师分析：
1、可以先把上面实际问题转化成数学模型，画出直角三角形。
2、在中，，.所以可以利用解直角三角
形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.
三、提高练习
1、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。
2、建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角是54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
3、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离．
4.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；
(2)求大楼的高度CD（精确到1米）
四、总结消化、整理笔记
小结：谈谈本节课你的收获是什么？
五、书写作业、巩固提高
作业：P126练习
P129
A
4、5
第九课时（总第60课时）
课题：解直角三角形应用（3）
教学目标：
1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
3、学会分析问题．体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。
重点：用三角函数有关知识解决方位角问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习】
1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。
2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线
二、探索新知、分类应用
例1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65
方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34
方向上的B处.这时，这时，当海轮到达位于灯塔P的南偏东340方向时，它距离灯塔P大约130.23海里.海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)
例2
如图，
一艘船以40
km/h
的速度向正东航行，
在A
处测得灯塔C
在北偏东60°方向上，
继续航行1
h到达B
处，这时测得灯塔C
在北偏东30°方向上.
已知在灯塔C的四周30
km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？
三、巩固练习
1、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．
2、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
3、如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S
在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，
在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，
此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距
离是多少海里（不作近似计算）.
4、小亮在西湖划船游玩（如图），小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处.从B处沿北偏西37°的方向上划回P处，这时小亮一共划了多少米（精确到1米）？
四、总结消化、整理笔记
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．
2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．
3．得到数学问题的答案．
4．得到实际问题的答案．
四、书写作业、巩固提高
作业：P129练习
A
1、2
第十课时（总第61课时）
课题：解直角三角形应用（4）
教学目标：
1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．根据实际问题情况灵活运用相关知识．
3、让学生从事应用学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．
重点：解决有关坡度的实际问题．
难点：理解坡度的有关术语．
教学过程
一、复习旧知、引入新课
如图，
从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画坡路的陡缓呢？
二、探索新知、分类应用
1、在图中，∠BAC
叫作坡角
坡角：坡面与地平面的夹角α叫坡角．
坡度(坡比):
如图，坡面的高度h和水平距离l的比
叫坡度(或坡比)，用字母i表示，
即i=
=tanα
（坡度通常写成1:m的形式）
坡度越大，山坡越陡．
2、例题
例1
如图，一山坡的坡度为i
=
1:2
.
小刚从山脚A
出发，
沿山坡向上走了240
m
到达点C.
这座山坡的坡角是多少度？
小刚上升了多少米？
（角度精确到0.01°，长度精确到0.1
m）
分析：在直角三角形ABC中，已知了坡度即角α的正切可求出坡角α，然后用α的正弦求出对边BC的长.
你还可以用其他方法求出BC吗？
2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

三、练习提高
1、如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.73
cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）
2、如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：
堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度？
3.一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD，试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD．（单位是米，结果保留根号）
4．如图，一水渠的横断面为等腰梯形，渠深为1.6m，渠底宽为1.2m，一腰与渠底所成的内角为140 ，求渠口宽（精确到0.1m）
四、总结消化、整理笔记
这节课你学到了什么问题．
四、书写作业、巩固提高
作业：P129练习
B
第十一课时（总第62课时）
课题：小结与复习
教学目标：
1、使学生对本章知识有一个全面，系统的认识。
2、使学生巩固新知识并在平时所学知识的基础上有所提高。
3、培养学生归纳总结的能力。
教学难点：知识的记忆和应用方法。
教学重点：知识的归类整理。
教学过程
基础知识
本章我们学习的主要内容：
1.
在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切定义。
在Rt△ABC中，一个锐角为α，则
sinα=
，cosα=
，tanα=
。
应该注意的几个问题:
sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
sinA、
cosA、tanA是一个比值（数值）。
sinA、
cosA
、tanA的大小与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
2.
特殊角(
30°，45°，60°)的三角函数值
3、解直角三角形及其应用
二、举例
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA=
,tanA=
.
2、在Rt ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b若sinA
:sinB
=
2
:3，a:b的值是
.
3、在△ABC中,若sinA=
，tanB=，则∠C=
.
4、在 ABC中∠A≠
∠
B，∠C=90°则下列结论正确的是（
）
(1).sinA>sinB
(2).sin A+sin B=1
(3).sinA=sinB
(4)若各边长都扩大为原来的2倍，则tanA也扩大为原来的2倍.
A.(1)(3)
B.(2)
C.(2)(4)
D.(1)(2)(3)
5、如果√cosA-0.5+|√3tanB-3|=0，那么 ABC是（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
6.如图，在△ABC中,
∠C=90°,
∠ABC=60°，D是AC的中点，
那么sin∠DBC=
.
7、在△ABC中，∠C=90°(1)已知BC=√3
，AB=2,那么AC=___,∠A=___,
∠B=___
(2)已知∠B=45°，BC=2,则AB=____,AC=____,
∠A=___
8．在Rt
△ABC
中，
∠C=
90 ，
BC=10，AB=12．分别求∠A
，
∠B
的正弦，余弦和正切的值．
9、已知如图，在△ABC中∠B
=
45°,
∠C
=
60°，AB
=
8
，求AC的长。
10、如图示，△ABC中，∠A=30°，AB=8
，AC=
6
,求△ABC的面积S及
A到BC边的距离d.
11、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，若tanB=cos∠DAC，
(1)AC与BD相等吗？说明理由；(2)若sinC＝，BC=12，求AD的长。
12.
如图，甲、乙两楼相距30m,
甲楼高40m,自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为30°，乙楼有多高？（结果精确到1m）
13.下图是岳阳楼，在30米高的岳阳楼顶P处，利用测角仪测得正前方商店A点的俯角为60°，又测得其正前方的海源宾馆B点的俯角为30°.求商店与宾馆之间的距离AB（结果保留根号）．
14、如图，是某市幸福大道上一座人行天桥示意图，天桥的高CO为6米，坡道倾斜角∠CBO=45°，在距B点5米处有一建筑物DE.为了更加方便行人上、下天桥，市政部门决定减少坡道的倾斜角，但离新坡角A处要留出不少于3米宽的人行道。（1）若将坡道倾斜角改建为30°(∠CAO=30°)，那么建筑物DE是否会被拆除？为什么？（2）若改建坡道后，使人行道的宽恰好为3米，又不拆除
建筑物DE，那么坡道的倾斜角应为多少度(精确到1度)？
课外作业：P135
A
B
《锐角三角函数》测试题（总第63、64课时）
一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
1.
在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值（
）
A.
不变
B.扩大2倍
C.缩小2倍
D.不能确定
2.三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（
）
A.
B.
C.
D.
3.
在Rt△ABC中，∠
C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为
（
）
A．
B．
C．
D．2
4.
在中，∠C=90°，若，则的值是（
）
A.
B.
C.
D.
5.
的值是（
）
A.
B.
C.
D.
6.
如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比（指坡面的铅直高度BC与水平宽度CA的比）是1：，堤高BC=5m，
则坡面AB的长度是（
）
A．10m
B．10m
C．15m
D．5m
7.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．
若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（
）
A．
B．
C．
D．
8.
将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，
∠BAE＝30°，，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（
）
A.
B.
2
C.
3
D.
二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)
9.计算：=
.
10.如果是锐角，且，那么=
.
11.在△ABC中，∠A，∠B为锐角，sinA=，tanB=，则△ABC的形状为
.
12.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE=6，sinA=，则菱形ABCD的周长是
.
13.等腰三角形腰长为2cm，底边长为2cm，则顶角为
；
面积为
.
14.
如图，小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB:BC=4:5，则的值是
；=
.
15.
若是锐角，sinα+cosα=，则＝
.
16．如图，矩形ABCD中，AD>AB，AB=a，，作AE交BD于E，且AE=AB．试用a与表示：AD=
．
三、解答题(本大题共6小题，共52分)
17.计算：
(本小题满分6分)
（1）；（2）；
（3）.
18.
计算：(本小题满分6分)
（1）
（2）已知锐角满足，求的值.
19.(
6分)
已知：在Rt△ABC中，的正弦、余弦值.
20.(8分)
如图，已知，求AB和BC的长.
21.(12分)如图，某校数学兴趣小组的同学在测量建筑物AB的高度时，在地面的C处测得点A的仰角为45°，向前走50米到达D处，在D处测得点A的仰角为60°，求建筑物AB的高度．
22.
(本小题满分14分)
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.（1）B处距离灯塔P有多远？
（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处.已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．
1米
10米

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