第七单元 探索规律
一. 教学目标：
1.知识与技能：能借助计算器进行较复杂的运算，探索乘除法算式中的一些简单规律。
2.过程与方法：理解并掌握商不变的性质，并能运手这一性质进行除法的简便计算，初步渗透函数思想。
3.情感态度和价值观：培养初步的概括能力，养成善于观察、勤于思考的良好习惯。
二. 教学重点难点：
1. 掌握商不变的性质。
2. 应用商不变的性质解决问题。
三．教学准备：课件，计算器
四．课时安排： 1课时
五．教学过程：
1. 复习导入：
出示幻灯片第2张：
填一填，说一说你是怎样想的？
请同学们举手说一说填什么，并说一说为什么要这样填。老师演示幻灯片。
仔细观察这些图形和数字我们就会发现它们的排列都是有规律的，找到它们排列的规律我们就可以很快的把答案填出来。21教育网
这些都是我们在三年级学习的规律知识，今天我们要借助计算器来学习关于规律的知识。
2. 导入新课：
出示幻灯片第3张：
请同学们拿出计算器，计算下面各题。
1×1 =
11×11 =
111×111 =
1111×1111 =
同学们算完后，老师演示幻灯片并请同学们举手说出计算的各题答案。
请同学们仔细观察各个算式和计算的结果，举手说一说发现了什么规律？
我们可以发现：
因数：
从上到下因数的位数由1位增加到4位，由1个1增加到4个1。
出示幻灯片第4张：
积：
老师讲解演示幻灯片，最后得出以下规律：
一个因数中有几个1，积就从1开始，按自然数的顺序写到几，然后逆顺序写回到1。
由此我们看出：积是一组对称数，对称轴是因数的位数。
出示幻灯片第5张：
根据上面的规律，你能说出下面算式的积吗？
请同学们举手说一说，老师再根据同学们说得情况演示算式的积。
11111×11111=123454321（因数有5个1，积从1写到5，再逆顺序写回到1）
111111×111111=12345654321（因数有6个1，积从1写到6，再逆顺序写回到1）
请同学们说一说这道题我们是如何一步一步找到它的规律的？然后总结出如何借助计算器探索乘法算式的规律？
出示幻灯片第6张：
借助计算器探索乘法算式的规律的方法：
先用计算器计算算式的积，再根据乘法算式中因数和积的特点找出算式的规律，最后运用规律解决问题。
如何借助计算器探索商的规律呢？
出示幻灯片第7张：
用计算器计算下面各题。
2424÷101 = 2424÷202 = 2424÷404= 21cnjy.com
4848÷101 = 4848÷202 = 4848÷404= www.21-cn-jy.com
9696÷101 = 9696÷202 = 9696÷404= 2·1·c·n·j·y
请同学们用计算器算出幻灯片上的各题，老师演示幻灯片核对答案。再请同学们仔细观察各个算式和结果，举手说一说发现了什么规律？【来源：21·世纪·教育·网】
出示幻灯片第8张：
我们可以以第一行为倒，先来观察同一行算式。为了更加一目了然，我们一起来借助表格观察它们的规律。
从表格中我们可以观察到被除数是不变的，除数和商是变化的。
被除数不变，当除数是101时，商是24；
被除数不变，当除数是202时，商是12；
被除数不变，当除数是404时，商是6。
除数：从101到202，除数扩大了2倍，也就是101×2=202
商：从24到12，商缩小了2倍，也就是24÷2=12
除数：从101到404，除数扩大了4倍，也就是101×4=404
商：从24到6，商缩小了4倍，也就是24÷4=6
由此我们可以得出被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几。（请同学们要注意一定要把特殊的数字0除去）21·cn·jy·com
出示幻灯片第9张：
还是这个表格，请同学们从下往上观察，并说一说发现了什么？
被除数不变，除数和商是变化的。
除数：从404到202，除数缩小了2倍，也就是404÷2=202
商：从6到12，商扩大了2倍，也就是6×2=12
除数：从404到101，除数缩小了4倍，也就是404÷4=101
商：从6到24，商扩大了4倍，也就是6×4=24
由此我们可以得出被除数不变，除数除以几（0除外），商就乘几。（请同学们要注意一定要把特殊的数字0除去）21·世纪*教育网
可以先回到第7张幻灯片：
刚才我们是横着观察这些算式的规律的，接下来我们再来看一看竖着观察能发现什么规律。
我们还以表格的形式来观察，这样比较直观。
出示幻灯片第10张：
以第一列算式为例，请同学们仔细观察表格，并说一说他们的发现。
从表格中我们可以观察到除数是不变的，被除数和商是变化的。
被除数：从2424到4848，被除数扩大了2倍，也就是2424×2=4848
商：从24到48，商扩大了2倍，也就是24×2=48
被除数：从2424到9696，被除数扩大了4倍，也就是2424×4=9696
商：从24到96，商扩大了4倍，也就是24×4=96
由此我们可以得出除数不变，被除数乘几（0除外），商就乘几。（请同学们要注意一定要把特殊的数字0除去）www-2-1-cnjy-com
出示幻灯片第11张：
我们再把这个表格也反过来从下往上观察，请同学们说一说发现了什么？
从表格中我们可以观察到除数是不变的，被除数和商是变化的。
被除数：从9696到4848，被除数缩小了2倍，也就是9696÷2=4848
商：从96到48，商缩小了2倍，也就是96÷2=48
被除数：从4848到2424，被除数缩小了4倍，也就是9696÷4=2424
商：从96到24，商缩小了4倍，也就是96÷4=24
由此我们可以得出除数不变，被除数除以几（0除外），商就除以几。（请同学们要注意一定要把特殊的数字0除去）2-1-c-n-j-y
以上就是我们借助计算器探索的商的规律的方法。我们可以把以上的规律总结如下。
出示幻灯片第12张：
被除数不变，商随除数的变化规律：
被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商就除以（或乘）相同的数。
除数不变，商随除数的变化规律：
除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商就乘（或除以）相同的数。
请同学们认真读一读上面的规律，并牢记在心。
出示幻灯片第13张：
试一试：
根据101×12=1212，101 ×13=1313，直接写出下列各题的积，并用计算器检验。
请同学们打开课本第86页，将各个算式的积写在书本上，并用计算器检验。
出示幻灯片第14张：
先填表，再回答问题。
请同学们填一填，并举手说一说自己的答案。再仔细观察表格，回答问题。
（1）从左往右看，你能发现什么？
请同学们说一说他们的发现。
从左往右看，被除数和除数逐渐扩大，而商不变。
从左往右看：
被除数扩大10倍，除数也扩大10倍，商不变。
被除数扩大100倍，除数也扩大100倍，商不变。
被除数扩大1000倍，除数也扩大1000倍，商不变。
可以得出：
被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。（请同学们注意把特殊的数字0除去）
出示幻灯片第15张：
（2）从右往左看，你又能发现什么？
从右往左看，被除数和除数逐渐缩小，而商不变。
从右往左看：
被除数缩小10倍，除数也缩小10倍，商不变。
被除数缩小100倍，除数也缩小100倍，商不变。
被除数缩小1000倍，除数也缩小1000倍，商不变。
可以得出：
被除数和除数同时除以相同的数（0除外），商不变。（请同学们注意把特殊的数字0除去）
这就是我们今天讲的商不变的性质。
出示幻灯片第16张：
商不变的性质：
在除法算式里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
如何运用商不变的性质呢？
出示幻灯片第17张：
试一试：
根据每组第1个算式的得数，直接写出后面的两个算式的商。
请同学们打开课本第87页，将各个算式的积写在书本上。
分别出示幻灯片第18张和第19张：
拓展训练：
650÷70 与 65÷7是否相等，小红的说法对吗？
请同学们认真思考说一说小红的说法是不是正确的，并说出原因。
老师根据同学们说的表况讲解演示幻灯片。
最后得出：
小红的说法不对。
根据商不变的性质，被除数和除数同时乘或除 ( http: / / www.21cnjy.com )以相同的数（0除外），商的大小不变；但是余数则不同，因为数位还在，要看余数在哪个数位上。 算式650÷70的余数在十位上，代表2个10，余数是20。 21世纪教育网版权所有
出示幻灯片第20张：
火眼金睛辨对错：
先请同学们判断正确与否，再分析出错误的原因，老师演示幻灯片。
3. 小结。
出示第19张幻灯片：
回忆一下这节课的内容。
这节课你学习了什么？
如何借助计算器探索乘法算式的规律
如何借助计算器探索商的变化规律
运用商不变的性质进行除法的简便计算
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 6 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网第七单元 探索规律
一. 先找规律，再根据规律填一填。
1. 9×9 = 81
99×99 = 9801
999×999 = 998001
9999×9999 = ____________
2. 9×9＋7=88
98×9＋6=888
987×9＋5=8888
9876×9＋4 = ____________
98765×9＋3 =____________
3.（11－2）÷9=1
（111－3）÷9=12
（1111－4）÷9=123
（11111－_______）÷9=1234
（_______－_______）÷9=12345
（_______－_______）÷9 =___________
二. 先用计算器计算前三题，找出规律，再写出后一题的结果。
42÷7=
4422÷67=
444222÷667=
44442222÷6667=
三. 根据101×25=2525、202×25=5050直接写出下列各题的积，并用计算器检验。
13×101 = 202×19 =
101×46 = 202×31 =
28×101 = 48×202 =
101×74 = 35×202 =
四. 根据商不变的性质，直接写出其余各题的结果。
54÷9 = 6 18÷6 =
540÷6 = 72÷12 =
5400÷6 = 144÷24 =
五. 用计算器计算。
9÷9 =_________
108÷9 = ____________
1107÷9 = _____________
11106÷9 = _______________
从这上面这些计算中，你发现了什么规律？根据上面的规律写出下面各算式的商。
111105÷9 = _______________
1111104÷9 = _______________
11111103÷9 = _______________
111111102÷9 = _______________
六. 数字乐园。
＋ = 勤，－= 奋，×= 学，÷= 习
勤＋奋＋学＋习 = 100
上面的代表同一个数，4个汉字代表着4个不同的数，那么：
=（ ）， 勤 = （ ）， 奋 = （ ），学 = （ ）， 习 =
（ ）。
参考答案：
一. 先找规律，再根据规律填一填。
1. 9×9 = 81
99×99 = 9801
999×999 = 998001
9999×9999 = _99980001__
2. 9×9＋7=88
98×9＋6=888
987×9＋5=8888
9876×9＋4 = _88888__
98765×9＋3 =__888888__
3.（11－2）÷9=1
（111－3）÷9=12
（1111－4）÷9=123
（11111－_5_）÷9=1234
（_111111_－_6_）÷9=12345
（_1111111_－_7_）÷9 =_123456_
二. 先用计算器计算前三题，找出规律，再写出后一题的结果。
42÷7= 6
4422÷67= 66
444222÷667= 666
44442222÷6667= 6666
三. 根据101×25=2525、202×25=5050直接写出下列各题的积，并用计算器检验。
13×101 = 1313 202×19 = 3838
101×46 = 4646 202×31 = 6262
28×101 = 2828 48×202 = 9696
101×74 = 7474 35×202 = 7070
四. 根据商不变的性质，直接写出其余各题的结果。
54÷9 = 6 18÷6 = 3
540÷60 = 9 72÷12 = 6
5400÷600 = 9 144÷24 = 6
五. 用计算器计算。
9÷9 =_1__
108÷9 = _12__
1107÷9 = __123_
11106÷9 = __1234__
从这上面这些计算中，你发现了什么规律？根据上面的规律写出下面各算式的商。
111105÷9 = _12345__
1111104÷9 = _123456__
11111103÷9 = _1234567__
111111102÷9 = _12345678__
六. 数字乐园。
＋ = 勤，－= 奋，×= 学，÷= 习
勤＋奋＋学＋习 = 100
上面算式中的代表同一个数，4个汉字代表着4个不同的数，那么：
=（9）， 勤 = （18）， 奋 = （0），学 = （81）， 习 = （1）。
【解析】因为上面算式中的代表同一个数 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以可以得知勤=2，奋=0，学=×，习=1。又因为勤＋奋＋学＋习 = 100，所以2＋0＋×＋1=100，也就是
2＋×= 99，只有当= 9时，式子才成立，所以=9， 勤 = 18， 奋 = 0，学 = 81， 习 = 1。21世纪教育网版权所有
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第七单元
探 索 规 律
（ ）（ ）。
（ ）（ ）。
填一填，说一说你是怎样想的？
2，4，8，16，32，（ ），（ ）。
1，2，2，4，8，（ ），（ ）。
64
128
32
256
用计算器计算。
1×1 =
11×11 =
111×111 =
1111×1111 =
1
121
12321
1234321
你发现了什么
规律？
从上到下因数的位数由1位到4位，由1个1到4个1。
因数：
一个因数中 有几个1，积就从1开始，按自然数的顺序写到几，然后逆顺序写回到1。
积：
1 × 1 =
11 × 11 =
111 × 111 =
1111 × 1111 =
1
121
12321
1234321
2个1
4个1
积是一组对称数，对称轴是因数的位数。
3个1
11111×11111 =
1234 5 4321
根据上面的规律，你能说出下面算式的积吗？
1×1 =
11×11 =
111×111 =
1111×1111 =
1
121
12321
1234321
5个1
从1写到5
从5写到1
111111×111111 =
12345 6 54321
先用计算器计算算式的积，再根据乘法算式中因数和积的特点找出算式的规律，最后运用规律解决问题。
借助计算器探索乘法算式的规律的方法：
用计算器计算下面各题。
2424÷101 =
24
4848÷101 =
48
9696÷101 =
2424÷202 =
4848÷202 =
9696÷202 =
2424÷404=
4848÷404 =
9696÷404 =
96
12
24
48
6
12
24
说一说你发现了什么规律？
被 除 数 除 数 商
2424 101 24
2424 202 12
2424 404 6
×2
×4
÷ 2
÷ 4
被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几。
观察同一行算式（以第一行为例）：
被 除 数 除 数 商
2424 101 24
2424 202 12
2424 404 6
÷2
÷4
× 2
× 4
被除数不变，除数除以几（0除外），商就乘几。
观察同一行算式（以第一行为例）：
被 除 数 除 数 商
2424 101 24
4848 101 48
9696 101 96
×2
×4
× 2
× 4
除数不变，被除数乘几（0除外），商就乘几。
观察同一列算式（以第一列为例）：
被 除 数 除 数 商
2424 101 24
4848 101 48
9696 101 96
÷ 2
÷ 4
÷ 2
÷ 4
观察同一列算式（以第一列为例）：
除数不变，被除数除以几（0除外），商就除以几。
1. 被除数不变，商随除数的变化规律：
被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商就除以（或乘）相同的数。
2. 除数不变，商随除数的变化规律：
除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商就乘（或除以）相同的数。
试
试
根据101 ×12=1212，101 ×13=1313，直接写出下列各题的积，并用计算器检验。
101 × 35 =
101 × 82 =
26 × 101 =
47 × 101=
17 × 101 =
32 × 101 =
3535
8282
2626
4747
1717
3232
被除数 8 80 800 8000
除数 2 20 200 2000
商
先填表，再回答问题。
4
4
4
4
(1)从左往右看，你能发现什么？
×10
×100
×1000
被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。
被除数 8 80 800 8000
除数 2 20 200 2000
商
先填表，再回答问题。
4
4
4
4
(2)从右往左看，你又能发现什么？
÷10
÷100
÷1000
被除数和除数同时除以相同的数（0除外），商不变。
在除法算式里，被除数和除数同时乘或
除以相同的数（0除外），商不变。
商不变的性质：
试
试
根据每组第1个算式的得数，直接写出后面两个算式的商。
48 ÷ 4 = 12
（1）
480 ÷ 40 =
4800÷ 400 =
（2）
3000 ÷ 200 = 15
300 ÷ 20 =
30÷ 2 =
9 ÷ 3 = 3
（3）
18 ÷ 6 =
27÷ 9 =
（4）
56 ÷ 8 = 7
28÷ 4 =
14÷ 2 =
12
12
15
15
3
3
7
7
拓展训练
6 5 0
70
6 3
2
9
650÷70 与 65÷7是否相等，小红的说法对吗？
根据商不变的性质，
650÷70 与 65÷7的结果相同，商都是9，余数都是2。
650÷70 =
9……20
2在十位上，代表2个10
65÷7 =
9……2
拓展训练
650÷70 与 65÷7是否相等，小红的说法对吗？
根据商不变的性质，
650÷70 与 65÷7的结果相同，商都是9，余数都是2。
答：小红的说法不对。
根据商不变的性质，被除数和除数同时乘
或除以相同的数（0除外），商的大小不
变；但是余数则不同，因为数位还在，要
看余数在哪个数位上。 算式650÷70的余
数在十位上，代表2个10，余数是20。
火眼金睛辨对错。
（1）被除数和除数同时乘3，商乘9。 （ ）
（2）计算5400 ÷ 90=54 ÷ 9=6。 （ ）
×
×
解析：此题错在没有准确掌握商不变的性质。在除法算式里，
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商
不变。
解析：此题错在被除数和除数没有同时除以相同的数，导致
计算结果错误。利用商不性质计算此题时，被除数
和除数的末尾必须同时去掉相同个数的0。
这节课我学习了：
3. 运用商不变的性质进行除法的简便计算
1. 如何借助计算器探索乘法算式的规律
2. 如何借助计算器探索商的变化规律
谢谢！
