1.4 直角三角形的射影定理 课件3

课件22张PPT。1.4　直角三角形的射影定理【课标要求】
1．理解直角三角形的射影定理．
2．理解直角三角形射影定理的逆定理．
【核心扫描】
用射影定理解决直角三角形的有关问题．(重、难点)自学导引
1．射影的有关概念
(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的 ．
(2)线段在直线上的正射影：一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．正射影2．直角三角形的射影定理
(1)直角三角形的射影定理：
直角三角形斜边上的高是两
直角边在斜边上射影的 ；
两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 ．
(2)符号表示：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，则(1)AC2＝ ；(2)BC2＝ ；(3)CD2＝ .比例中项比例中项AD·ABBD·BAAD·BD名师点睛
1．应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高．应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量，还可研究相似问题、比例式等问题．2．直角三角形射影定理的逆定理
如果一个三角形一边上的高是另两
边在这条边上的射影的比例中项，
那么这个三角形是直角三角形．
符号表示：如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD·BD，则△ABC为直角三角形．
证明　∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC为直角三角形．题型一　射影的概念
【例1】 如图所示，AD⊥BC，FE⊥BC.求点A、B、C、D、E、F、G和线段AB、AC、AF、FG
在直线BC上的射影．
[思维启迪] 要求已知点和线段在直线BC上的射影，需过这些点或线段的端点，作BC边的垂线．解　由AD⊥BC，FE⊥BC知：AD在BC上的射影是D；B在BC上的射影是B；C在BC上的射影是C，E、F、G在BC上的射影都是E；AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC上的射影是DE，FG在BC上的射影是点E.
反思感悟　求点和线段在直线上的射影
(1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影；
(2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂足间的线段就是所求射影．题型二　射影定理的应用
【例2】 如图所示，在Rt△ABC中，
∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，
DF⊥AC于F，DE⊥AB于E.
试证明：
(1)AB·AC＝AD·BC；
(2)AD3＝BC·BE·CF.
[思维启迪] 本题第(1)问是利用△ABC的面积相等求得，在第(2)问中，在Rt△BAC中，有AB·AC＝AD·BC，AD2＝BD·DC；在Rt△ADB中，有BD2＝BE·AB；在Rt△ADC中，有CD2＝CF·AC.由这些关系式便可得到待证式．【变式2】 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线．
求证：CD·AC＝BC·AD.
证明　在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，
∴CD2＝BD·AD，BC2＝BD·AB，
AC2＝AD·AB.
∴CD2·AC2＝BD·AB·AD2
＝BC2·AD2.∴CD·AC＝BC·AD.反思感悟　将困难的、不熟悉的问题转化为容易的、熟悉的问题，体现了化归思想方法，通过恒等变形，找到中间变量来联系前后两个比值，从而达到解题目的．