2.1 圆周角定理 课件3
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课件33张PPT。第二讲 直线与圆的位置关系本讲讨论直线与圆的位置关系，涉及圆周角、圆的内接四边形、圆的切线、弦切角，与圆有关的线段间的度量关系等内容．其中有的概念在初中阶段已经学习过，本讲力求使这些知识融为一体，对相关定理进行严格论证，并注重知识的应用．2.1 圆周角定理【课标要求】
1．理解圆周角定理与圆心角定理、圆周角定理的两个推论．
2．会用圆周角定理和推论解决有关问题．
3．会用圆心角定理解决有关问题．
【核心扫描】
1．理解圆心角定理及圆周角定理的两条推论．(重点)
2．能应用两条定理及两条推论解决相关的几何问题．(难点)自学导引
1．圆周角定理
(1)圆心角及圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角．
(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 ．圆心角的一半2．圆心角定理
(1)定理：圆心角的度数等于 的度数．
(2)圆心角的表示：圆心角∠AOB与其所对
的AB所对的度数是相等的，如图所示，
可以记为：∠AOB的度数＝AB的度数，
不能写成∠AOB＝AB.它所对弧3．圆周角定理的推论
(1)推论1：同弧或等弧所对的 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 ．
(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等关系，简单地说，就是圆心角相等?弧相等?弦相等．圆周角相等直角直径名师点睛
1．圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和弧两种不同类型的图形联系起来．在几何证明的过程中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供了一种新方法．
2．圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等．3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”．
(4)在同圆或等圆中，由弦相等?弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．反思感悟 利用圆中角的关系证明时应注意的问题
(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；
(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题．【变式2】 已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证：∠BAE＝∠DAC.
证明 连接BE，因为AE为直径，
所以∠ABE＝90°.
因为AD是△ABC的高，
所以∠ADC＝90°.
所以∠ADC＝∠ABE.因为∠E＝∠C，
所以∠BAE＝180°－∠ABE－∠E，
∠DAC＝180°－∠ADC－∠C.
所以∠BAE＝∠DAC.法二 如图(2)所示，连接AC、OC、BD、OD.
∵CM垂直平分OA，∴AC＝OC.同理，OD＝BD.
∵OC＝OD，∴AC＝BD.∴AC＝BD.反思感悟 (1)证明与弧有关问题的步骤：
①根据题意作出辅助线；
②证明两个圆心角、两个圆周角，或两条弧所在的弦相等；
③利用圆周角定理的相关推论作出结论．
(2)注意事项：
在圆中，只要有弧就存在着弧所对的圆周角．因此，若要判断两弧相等，可以通过判断两条弧所对的圆周角相等．其实圆心角、两条弦、两条弧中任何一组量相等，那么它们所对应的其余各个量也相等．题型四 圆周角定理的综合应用反思感悟 应用圆周角和圆心角定理解题
①观察图形，寻找相应弦及所在的弧；
②利用圆周角定理和圆心角定理求出相关的角；
③进行数学变形；
④得出结论．解 有平行线段，理由是：如图所示，
因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.
又AC⊥EF，所以∠ADF＝90°，所以∠ADF＝∠ACB，所以EF∥BC.
有相等的线段，理由是：如图所示，连接BF，因为BC∥EF，所以EC＝BF，所以EC＝BF.
反思感悟 本题考查了直径所对的圆周角是直角这一性质，培养了同学们对图形的分析能力和探索能力．【示例2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，由(1)知△BCD为等腰三角形，且△GBD为等腰三角形．
而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，
故△BCD∽△GBD.反思感悟 本题主要考查平面几何中平行线的性质，三角形相似的判定等，意在考查考生的观察能力和分析问题的能力.
1．理解圆周角定理与圆心角定理、圆周角定理的两个推论．
2．会用圆周角定理和推论解决有关问题．
3．会用圆心角定理解决有关问题．
【核心扫描】
1．理解圆心角定理及圆周角定理的两条推论．(重点)
2．能应用两条定理及两条推论解决相关的几何问题．(难点)自学导引
1．圆周角定理
(1)圆心角及圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角．
(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 ．圆心角的一半2．圆心角定理
(1)定理：圆心角的度数等于 的度数．
(2)圆心角的表示：圆心角∠AOB与其所对
的AB所对的度数是相等的，如图所示，
可以记为：∠AOB的度数＝AB的度数，
不能写成∠AOB＝AB.它所对弧3．圆周角定理的推论
(1)推论1：同弧或等弧所对的 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 ．
(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等关系，简单地说，就是圆心角相等?弧相等?弦相等．圆周角相等直角直径名师点睛
1．圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和弧两种不同类型的图形联系起来．在几何证明的过程中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供了一种新方法．
2．圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等．3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”．
(4)在同圆或等圆中，由弦相等?弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．反思感悟 利用圆中角的关系证明时应注意的问题
(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；
(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题．【变式2】 已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证：∠BAE＝∠DAC.
证明 连接BE，因为AE为直径，
所以∠ABE＝90°.
因为AD是△ABC的高，
所以∠ADC＝90°.
所以∠ADC＝∠ABE.因为∠E＝∠C，
所以∠BAE＝180°－∠ABE－∠E，
∠DAC＝180°－∠ADC－∠C.
所以∠BAE＝∠DAC.法二 如图(2)所示，连接AC、OC、BD、OD.
∵CM垂直平分OA，∴AC＝OC.同理，OD＝BD.
∵OC＝OD，∴AC＝BD.∴AC＝BD.反思感悟 (1)证明与弧有关问题的步骤：
①根据题意作出辅助线；
②证明两个圆心角、两个圆周角，或两条弧所在的弦相等；
③利用圆周角定理的相关推论作出结论．
(2)注意事项：
在圆中，只要有弧就存在着弧所对的圆周角．因此，若要判断两弧相等，可以通过判断两条弧所对的圆周角相等．其实圆心角、两条弦、两条弧中任何一组量相等，那么它们所对应的其余各个量也相等．题型四 圆周角定理的综合应用反思感悟 应用圆周角和圆心角定理解题
①观察图形，寻找相应弦及所在的弧；
②利用圆周角定理和圆心角定理求出相关的角；
③进行数学变形；
④得出结论．解 有平行线段，理由是：如图所示，
因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.
又AC⊥EF，所以∠ADF＝90°，所以∠ADF＝∠ACB，所以EF∥BC.
有相等的线段，理由是：如图所示，连接BF，因为BC∥EF，所以EC＝BF，所以EC＝BF.
反思感悟 本题考查了直径所对的圆周角是直角这一性质，培养了同学们对图形的分析能力和探索能力．【示例2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，由(1)知△BCD为等腰三角形，且△GBD为等腰三角形．
而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，
故△BCD∽△GBD.反思感悟 本题主要考查平面几何中平行线的性质，三角形相似的判定等，意在考查考生的观察能力和分析问题的能力.