2.2 圆内接四边形的性质与判定定理 课件3

课件26张PPT。2.2　圆内接四边形的性质与判定定理【课标要求】
1．理解圆内接四边形的两条性质定理，能应用定理解决相关的几何问题．
2．理解圆内接四边形判定定理及推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题．
【核心扫描】
1．用圆内接四边形的判定定理判断四点共圆．(重点)
2．用圆内接四边形的性质定理解决相关问题．(难点)自学导引
1．圆内接多边形
(1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．
(2)同样，如果四边形的四个顶点都在同一个圆上，则称该四边形为圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
2．圆内接四边形的两个性质定理
(1)定理1：圆的内接四边形的 ．
(2)定理2：圆内接四边形的外角等于 ．对角互补它的内角的对角3．圆内接四边形的判定定理
(1)圆内接四边形的判定定理
如果一个四边形的 ，那么这个四边形的四个顶点共圆．
(2)圆内接四边形的判定定理的推论
如果四边形的一个外角等于 ，那么这个四边形的四个顶点共圆．对角互补它的内角的对角(3)判断四点共圆的常用方法
①如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆；
②如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；
③如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；
④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．试一试：判断下列各命题是否正确．
(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；
(2)矩形有唯一的外接圆；
(3)菱形有外接圆；
(4)正多边形有外接圆．
提示　(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．名师点睛
1．(1)要注意圆内接四边形的四个内角都是圆周角这一特点．利用圆周角定理，把圆周角与相应的圆心角联系起来，从而得出圆内接四边形性质定理1，然后在性质定理1的基础上，推出了性质定理2.
(2)圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提供了理论依据，因而也为论证角边关系提供了一种新方法．
2．掌握圆的内接四边形需注意的问题
(1)在圆内接四边形的判定定理的证明中，利用了穷举法．所谓的“穷举法”就是当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情况分别论证，最后获证结论的方法．在每一种情形的证明中都用到了反证法，要注意这些方法的应用． (2)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况，它们的关系可以用集合形式表示：{圆内接四边形}?{圆内接多边形}．
(3)掌握一些常见的结论，例如，正多边形一定存在外接圆；三角形一定存在外接圆，并且三角形的外接圆的圆心(即外心)是三条边的垂直平分线的交点；圆内接梯形一定是等腰梯形等．
(4)要注意圆内接四边形的性质定理和判定定理的综合应用．题型一　用圆内接四边形的性质定理解决与线段长度有关的问题
【例1】 在⊙O中，AC＝AB，E是弦BC延长线上的一点，AE交⊙O于点D.求证：AC2＝AD·AE.反思感悟　要证明等积式，因比例式是等积式的一种特殊形式，故可转化为比例式．只需找到包含AC、AD、AE的两个三角形来证明．而要证三角形相似，可借助圆内接四边形的性质，得出对应的角相等．【变式1】 如图所示，AD是△ABC外角∠EAC的角平分线，AD与三角形的外接圆⊙O交于点D.
求证：DB＝DC.
证明　∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
又∵∠EAD＝∠BCD，∠CAD＝∠CBD.
∴ ∠ DBC＝ ∠ DCB.
∴ DC＝ BD.题型二　利用圆内接四边形的性质定理求角
【例2】 如图所示，已知四边形ABCD
内接于圆，延长AB和DC相交于E，
EG平分∠BEC，且与BC、AD分别
相交于F、G.
求证：∠CFG＝∠DGF.
[思维启迪] 已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE＝∠BAD，又EG平分∠BEC，故△CFE∽△AGE.下面易证∠CFG＝∠DGF. 证明　因为四边形ABCD是圆内接四边形，
所以∠ECF＝∠EAG.
又因为EG平分∠BEC，
即∠CEF＝∠AEG，所以△EFC∽△EGA.
所以∠EFC＝∠EGA.
而∠EGD＝180°－∠EGA，
∠CFG＝180°－∠EFC，
所以∠CFG＝∠DGF.反思感悟　利用圆内接四边形的性质定理求角
(1)观察图形，找出圆内接四边形的对角或外角与其内对角；
(2)利用圆内接四边形的性质定理1或性质定理2求出所要求的角．
(3)当题目中出现圆内接四边形时，首先利用性质定理，再结合其他条件进行推理证明．【变式2】 如图所示，在圆内接
四边形ABCD中，AC平分BD，
且AC⊥BD.∠BAD＝72°，
求四边形其余的各角．
解　∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
又∵∠BAD＝72°，∴∠BCD＝108°.
又∵AC平分BD，并且AC⊥BD，
∴AC是四边形ABCD外接圆的直径．
∴∠ABC＝∠ADC＝90°.题型三　利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆问题
【例3】 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于G.求证：
(1)D、E、F、G四点共圆；
(2)G、B、C、F四点共圆．[思维启迪] (1)要证D、E、F、G四点共圆，只需找到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H，证点H即为圆心．
(2)要证G、B、C、F四点共圆，只需证∠B＝∠AFG(或∠C＝∠AGF)，由D、E为中点，可知DE∥BC，∠B＝∠ADE，故只需证∠ADE＝∠AFG，由D、E、F、G四点共圆可得．证明　(1)如图，连接GF，取GF的中点H.
∵DF⊥AB，EG⊥AC，∴△DGF，△EGF都是直角三角形．又∵点H是GF的中点，∴点H到D、E、F、G的距离相等，∴点H是过D、E、F、G的外接圆的圆心，∴D、E、F、G四点共圆．
(2)连接DE.由(1)知D、G、F、E四点共圆．
由四点共圆的性质定理的推论，得∠ADE＝∠AFG.
∵AD＝DB，AE＝EC，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠AFG＝∠B，
∴G、B、C、F四点共圆．反思感悟　(1)判断四点共圆的步骤：
①观察几何图形，找到一定点、一对对角或一外角与其内对角；
②判断四点与这一定点的关系；
③判断四边形的一对对角的和是否为180°；
④判断四边形一外角与其内对角是否相等；
⑤下结论．
(2)注意事项：
在证明一个命题成立时，要根据命题中的条件和结论画出图形，并且写出已知和求证．【变式3】 已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．
证明　连接EF，因为四边形ABCD为平行四边形，
所以∠B＋∠C＝180°.
因为四边形ABFE内接于圆，
所以∠B＋∠AEF＝180°.
所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．
方法技巧　综合运用圆内接四边形的性质定理与判定定理解决
问题
【示例1】 已知CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.
求证：A、B、P、Q四点共圆．
[思维启迪] 首先，连接PQ，要证A、B、P、Q四点共圆，只要利用判定定理或推论即可．而由题目中的垂直条件易得Q、F、P、C四点共圆，再考虑利用圆内接四边形的性质．证明　连接PQ，
在四边形QFPC中，
因为PF⊥BC，FQ⊥AC，
所以∠FQA＝∠FPC＝90°.
所以Q、F、P、C四点共圆．
所以∠QFC＝∠QPC.又因为CF⊥AB，
所以∠QFC与∠QFA互余．
而∠A与∠QFA也互余，
所以∠A＝∠QFC.
所以∠A＝∠QPC.
所以A、B、P、Q四点共圆．
反思感悟　熟练掌握圆内接四边形的判定定理及其推论．【示例2】 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
[思维启迪] 利用圆内接四边形的性质与判定定理证明．证明　(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.
所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，
故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝
∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，
故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，
所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A，B，G，F四点共圆．
反思感悟　本题考查了圆内接四边形的性质与判定定理．