2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件3

课件26张PPT。2.3　圆的切线的性质及判定定理【课标要求】
1．理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题．
2．能归纳并正确表述由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理．
【核心扫描】
1．圆的切线的判定定理、性质定理的理解．(重点)
2．用切线的判定定理、性质定理解决问题．(难点)自学导引
1．圆的切线的性质定理及推论
(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的 ．
(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ．
(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 ．半径切点圆心推敲引申：(1)本定理及其两个推
论可以用一个定理叙述出来，即：
如果圆的一条直线满足以下三个
条件中的任意两条，那么就一定
满足第三条．它们是：①垂直于切线；②过切点；③过圆心．
(2)本定理题设为：一条直线既过圆心又过切点，结论为：这条直线与圆的切线垂直．如图所示，若直线l切⊙O于A，直线l′经过点O、A，则直线l′⊥l.2．圆的切线的判定定理
(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于 的直线是圆的切线．
(2)圆的切线的判断方法这条半径推敲引申：(1)圆的切线的判定定理还可表述为：如果一条直线经过圆的一条半径的外端点，并且垂直于这条半径，那么这条直线就是这个圆的切线．
(2)判断一条直线是否是切线的三种方法中：②③是由①推出的；②是用数量关系来判断；③是用位置关系来判断．名师点睛
1．直线与圆的位置关系的性质和判定
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
(1)直线l和⊙O相交?d (2)直线l和⊙O相切?d＝r(如图(2)所示)；
(3)直线l和⊙O相离?d>r(如图(3)所示)．说明：(1)命题左边反映的是两个图形(直线和圆)的位置关系，右边反映的是两个数量的大小关系．
(2)对于两个图形(直线l和⊙O)的位置关系，或两个数(d和r)的大小关系，有且仅有一种情况是成立的．
(3)从左端推出右端是直线和圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线和圆的位置关系的判定．2．圆的切线的性质与判定的综合运用
在解决有关圆的切线问题(无论是计算还是证明)时，通常需要添加辅助线．一般地，添加辅助线有以下规律：
(1)已知一条直线是圆的切线时，通常连接圆心和切点，这条半径垂直于切线．
(2)要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”．题型一　圆的切线的判断
【例1】 如图所示，在△ABC中，
已知AB＝AC，以AB为直径的
⊙O交BC于点D，DE⊥AC于
点E.
求证：DE是⊙O的切线．
[思维启迪] 利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：①过半径的外端；②该直线与某一条半径所在的直线垂直．证明　连接OD和AD，如图所示．
∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.
∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵AO＝OB，∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．
反思感悟　判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法
①如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；
②若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”．【变式1】 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，且AD＋BC＝AB，AB为⊙O的直径．
求证：⊙O与CD相切．题型二　圆的切线性质定理的应用
【例2】 如图所示，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，
过Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，
求证：RP＝RQ.
[思维启迪] 已知QR是⊙O的切线，可利用切线的性质定理，即OQ⊥RQ.另外，要证RP＝RQ，只要证∠RPQ＝∠RQP即可，只要证∠BPO＝∠PQR即可，再结合OQ⊥RQ.证明　连接OQ.因为QR是⊙O的切线，所以OQ⊥QR.
因为OB＝OQ，所以∠B＝∠OQB.
因为BO⊥OA，
所以∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ，
∠PQR＝90°－∠OQP.
所以∠RPQ＝∠PQR.
所以RP＝RQ.
反思感悟　题目中若有圆的切线，首先可以连接圆心和切点，出现垂直关系．【变式2】 如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AD是弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，且AD＝DC，求∠ABD的度数．
解　∵BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC.
∴△ABC是直角三角形．
∵CD＝AD，∴BD＝AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD.
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴∠ABD＝45°.反思感悟　(1)用切线的性质定理求解线段的长度时，应注意的问题
①观察图形，作辅助线；
②利用相关知识，如圆周角定理、圆的切线性质定理、判定定理等．
(2)在应用切线的性质定理及其推论进行几何证明和求解时，如果已知切点，则连接圆心和切点构成垂直是一种常用的方法．方法技巧　圆内接四边形与圆的切线综合的求解策略
【示例1】 如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
(1)证明：A、P、O、M四点共圆；
(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明　连接OP，OM，
因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.
因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.
于是∠OPA＋∠OMA＝180°，
由圆心O在∠PAC的内部，
可知四边形APOM的对角互补，
所以A，P，O，M四点共圆． (2)解　由(1)得，A，P，O，M四点共圆，
所以∠OAM＝∠OPM.
由(1)得OP⊥AP.
由圆心O在∠PAC的内部，
可知∠OPM＋∠APM＝90°，
所以∠OAM＋∠APM＝90°.