1.4 直角三角形的射影定理 教案

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1.4
直角三角形的射影定理
教案
教学目标
知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.
方法与过程：
通过问题设计，层层跟进，引导学生探索和发现射影定理.
情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想.
教学重难点
重点：直角三角形的射影定理的证明及应用；
难点：直角三角形的射影定理的证明.
教学过程
一、教学引入
什么是射影？
点和线段的正射影简称为射影
(让学生复习并挖掘下图中的基本性质.)
已知：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.
(1)图中有几条线段？
(答：6条，分别记为AB=c，AC=b，BC=a，CD=h，AD=m，BD=n.)
(2)图中有几个锐角？数量有何关系？
(3)图中有几对相似三角形？可写出几组比例式？
由图中ΔACD?∽ΔCBD∽ΔABC，可分别写出三组比例式：
(ΔACD∽ΔCDB)；
(ΔCBD∽ΔABC)；
(ΔACD∽ΔABC).
(4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式？如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式？21教育网
只有三个比例中项的表达式，，，
(5)由上可得到哪些等积式？
CD2=AD·BD，BC2=BD·BA，AC2=AD·AB
总结得：
射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.21cnjy.com
请同学们自己写出已知条件并证明.
已知：在RT△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥AB于D.
求证：CD2=ADBD、BC2=BDAB、AC2=ADAB
证明：在RT△ABC中，因为∠ABC=90.
CD⊥AB
∠B+∠DCB=90
，
∠ACD+∠DCB=90
所以∠B=∠ACD，故
△CBD∽△ACD
所以
在RT△ACB与RT△BDC中，为公共角，
∽
同理，由∽，
讨论：
用勾股定理能证明射影定理吗？写出你的想法.
证明：
二、例题解析
例1
如图1-35(课本第21页)，圆O上一点C在直径AB上的射影为D.求CD、AC和BC的长.
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例2
如图1-36(课本第22页)，ΔABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且.
求证：ΔABC是直角三角形.
三、课堂小结与反思
学会利用射影定理解相关问题.
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