2.1 圆周角定理 教案
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2.1
圆周角定理
教案
教学目标
(1)理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；
(2)继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；
(3)渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．
教学重、难点
重点：圆周角的概念和圆周角定理
难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．
教学过程
(一)圆周角的概念
1.什么叫圆心角？
2.圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
(二)探究1
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C？观察得到的∠ACB有什么特征？
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的角叫做圆周角.
观察：如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(
∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗？
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分别量一下所对的圆周角∠ACB、∠ADB和∠AEB的度数比较一下，再改变圆周角的位置，圆周角的度数有没有变化？你有什么发现？21cnjy.com
再量出图中所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现
猜想：
同弧所对的圆周角的度数没有变化，
并且它的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
验证:
为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系分三种情况来证明：
(1)圆心在圆周角的一边上；
(2)圆心在圆周角的内部；
(3)圆心在圆周角的外部
我们先来证第(1)种情况：
证明：∵
OB=OP
∴∠P=∠B
∵∠AOB是△OBP的外角
∴∠P=0.5∠AOB
我们再来证明第(2)情况：
连结PO并延长交⊙于C
由(1)可知：
∠APC=0.5∠AOC
∠BPC=0.5∠BOC
∴
∠APC+∠BPC=0.5(∠AOC+∠BOC)
即∠APB=0.5∠AOB
最后我们来证明第(3)种情况：
连结PO并延长交⊙O于C
由(1)可知：
∠APC=0.5∠AOC
∠BPC=0.5∠BOC
∴
∠BPC-∠APC=0.5(∠BOC-∠AOC
)
即∠APB=0.5∠AOB
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半.
(三)探究2
我们知道，一个周角是360°，把圆周等分成360°，每一份叫做1°的弧.由此，n°的圆心角所对的弧是n°的弧；反之，n°的弧所对的圆心角的度数是n°，从而有：21世纪教育网版权所有
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，因此，由圆周角定理可以直接得：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径.
(四)例题解析
例1
如图2-3(课本第26页)AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径.求证：
例2
如图2-4(课本第26页)AB与CD相交于圆内一点P.求证：弧AB的度数与弧BC的度数和的一半等于∠APD的度数.21教育网
(五)小结
1、圆周角的定义；
2、圆周角定理及证明；
3、圆心角定理；
4、圆周角定理及推论的运用.
21世纪教育网
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圆周角定理
教案
教学目标
(1)理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；
(2)继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；
(3)渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．
教学重、难点
重点：圆周角的概念和圆周角定理
难点：圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．
教学过程
(一)圆周角的概念
1.什么叫圆心角？
2.圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
(二)探究1
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C？观察得到的∠ACB有什么特征？
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的角叫做圆周角.
观察：如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(
∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗？
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猜想：
同弧所对的圆周角的度数没有变化，
并且它的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
验证:
为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与圆心的相对位置关系分三种情况来证明：
(1)圆心在圆周角的一边上；
(2)圆心在圆周角的内部；
(3)圆心在圆周角的外部
我们先来证第(1)种情况：
证明：∵
OB=OP
∴∠P=∠B
∵∠AOB是△OBP的外角
∴∠P=0.5∠AOB
我们再来证明第(2)情况：
连结PO并延长交⊙于C
由(1)可知：
∠APC=0.5∠AOC
∠BPC=0.5∠BOC
∴
∠APC+∠BPC=0.5(∠AOC+∠BOC)
即∠APB=0.5∠AOB
最后我们来证明第(3)种情况：
连结PO并延长交⊙O于C
由(1)可知：
∠APC=0.5∠AOC
∠BPC=0.5∠BOC
∴
∠BPC-∠APC=0.5(∠BOC-∠AOC
)
即∠APB=0.5∠AOB
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半.
(三)探究2
我们知道，一个周角是360°，把圆周等分成360°，每一份叫做1°的弧.由此，n°的圆心角所对的弧是n°的弧；反之，n°的弧所对的圆心角的度数是n°，从而有：21世纪教育网版权所有
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，因此，由圆周角定理可以直接得：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径.
(四)例题解析
例1
如图2-3(课本第26页)AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径.求证：
例2
如图2-4(课本第26页)AB与CD相交于圆内一点P.求证：弧AB的度数与弧BC的度数和的一半等于∠APD的度数.21教育网
(五)小结
1、圆周角的定义；
2、圆周角定理及证明；
3、圆心角定理；
4、圆周角定理及推论的运用.
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