2.2 圆的内接四边形的性质与判定定理 教案

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2.2
圆的内接四边形的性质与判定定理
教案
教学目标
(一)知识目标
(1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；
(2)掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；
(3)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．
(二)能力目标
(1)通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；
(2)通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；
(3)通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．
(三)情感目标
(1)充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；
(2)渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．
教学重、难点
重点：圆内接四边形的性质定理．
难点：定理的灵活运用．
教学过程
(一)基本概念
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．
(二)创设研究情境
问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？
研究：圆的特殊内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形)
1、边的性质：
(1)矩形：对边相等，对边平行．
(2)正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．
(3)等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．
归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．
2、角的关系
相邻两内角互补
有两组相等的角
相对两内角互补
矩形
是
是
是
正方形
是
是
是
等腰梯形
不是
是
是
猜想：圆内接四边形的对角互补．
(三)证明猜想
教师引导学生证明．(参看思路)
思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢？21世纪教育网版权所有
思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢？21教育网
(四)性质及应用
定理1
圆的内接四边形的对角互补.
定理2
圆内接四边形的一个外角等于它的内角的对角．
经过上面的讨论，我们得到了圆内接四边形的两条性质.一个自然的想法是，它们的逆命题成立吗？如果成立，就可以得到四边形存在外接圆的判定定理.21cnjy.com
假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°.
求证：A、B、C、D在同一圆周上(简称四点共圆).
分析：在不同一直线上的三点确定一个圆.经过A、B、C三点作圆O.如果能够由条件得到圆O过点D，那么就证明了命题.
显然，圆O与点D有且只有三种关系：
(1)点D在圆外；
(2)点D在圆内；
(3)点D在圆上.
只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题.
老师引导学生完成证明.
可得：
圆内接四边形判定定理
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.
在圆内接四边形判定定理的证明中，我们用分类思想对点D与A、B、C三点确定的圆的位置关系进行探讨，在每一种情形中都运用了反证法.当问题存在多种情形时，通过对每一种情形分别论证，最后获证结论的方法，称为穷举法.21·cn·jy·com
推论
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.
请同学们自己写出推论的证明.
(五)例题解析
例1
如图2-9(课本第29页)，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE∥DF．www.21-cn-jy.com
例2
如图2-10(课本第29页)，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，
FQ⊥AC.求证：A、B、P、Q四点共圆.2·1·c·n·j·y
(六)课堂小结
回顾总结本课学习了哪些知识？
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