3.2 平面与圆柱面的截线 教案

3.2
平面与圆柱面的截线
教案
教学目标
1.知识与内容：
(1)通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理1
(2)通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解
2.情感态度价值观：
通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题.
教学重点、难点
重点：、定理1的证明；椭圆准线和离心率的探究
难点：椭圆准线和离心率的探究
教学过程
1、平面与圆柱面的截线
探究讨论：如图3-5(课本第45页)，AB，CD是两个等圆的直径，AB//CD，AD、BC均与两圆相切.作公切线EF，切点分别为F1和F2
，交BA，DC的延长线与E，F，交AD于G1，交BC于G2，设EF与BC，CD的交角分别为φ，θ.
由切线长定理有
G2F1＝G2B，G2F2＝G2C，
∴G2F1＋G2F2＝G2B＋G2C＝BC＝AD
又∵G1G2＝G1F2＋F2G2
由切线长定理知
G1F2＝G1D，F2G2＝G2C，
∴G1G2＝G1D＋G2C
连接F1O1，F2O2，容易证明
△EF1O1≌△FF2O2
∴EO1＝FO2
又∵O1A＝O2C，
∴EA＝FC
于是可证得△FCG2≌△EAG1
∴G1A＝G2C
∴G1G2＝G1D＋G1A＝AD
在Rt△G2EB中
∴
G2F1=G2Ecos
又
∵
=90 -
∴
G2F1=G2Ecos =G2Esin
由此得到结论:
(1)G2F1+G2F2=AD
(2)G1G2=AD
2、知识拓展
将图3-5中的两个圆拓广为球面，将矩形ABCD看成是圆柱面的轴截面，将EB、DF拓广为两个平面 、 ，EF拓广为平面 ，得到图3-6(课本第46页).
你能猜想这个椭圆的两个焦点的位置吗？
猜想:两个焦点为两个球与斜截面的切点上，即过球心O1、O2分别作斜截面的垂线，其垂足F1、F2就可以能是焦点.
对截口上任一点P，证明PF1+PF2=定值
当点P与G2重合时，有
G2F1＋G2F2＝AD
当点P不在端点时，连接PF1，PF2，则PF1，PF2分别是两个球面的切线，切点为F1，F2.
过P作母线，与两球面分别相交于K1，K2，则PK1，PK2分别是两球面的切线，切点为K1，K2
PF1=PK1，PF2=PK2，
PF1+PF2=PK1+PK2=AD
定理1
圆柱形物体的斜截口是椭圆.
如上图，椭圆的焦点是F1、F2，B1B2是F1F2的中垂线.我们把A1A2叫做椭圆的长轴，B1B2叫做椭圆的短轴，F1F2叫做椭圆的焦距.如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c=
3、椭圆的性质
思考：l1，l2与椭圆上的点有什么关系？
特殊点G2
=定值.
点P在椭圆的任意位置
PQ⊥l，PK1⊥
在Rt△PK1Q，中∠QPK1=
=定值.
椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比为定值cos .我们把直线l1叫做椭圆的另一条准线.
同样，椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直线l2的距离之比为定值cos .所以l2是椭圆的另一条准线.
记e=cos ，我们把e叫做椭圆的离心率.
4、课后小结
回顾本科学习了哪些知识？