3.3 平面与圆锥面的截线 教案

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3.3
平面与圆锥面的截线
教案
教学目标
1.知识与内容：
(1)通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2
(2)利用Dandelin双球证明定理2中情况(1)
(3)通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解
2.情感态度价值观：
通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题.
教学重、难点
重点：(1)定理2的证明
(2)椭圆准线和离心率的探究
难点：椭圆准线和离心率的探究
教学过程
椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种.生成椭圆的方法有许多，例如：
(1)圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图；
(2)椭圆的定义
(3)平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0(4)一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；
如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线.
思考：如图3-9(1)(课本第48页)，AD是等腰三角形ABC底边BC上的高，∠BAD=.直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为试探究：当与满足什么关系时，21世纪教育网版权所有
(1)l与AB(或AB的延长线)、AC都相交；
(2)l与AB不相交；
(3)l与BA的延长线、AC都相交.
如图3-9(2)(课本第48页)，可以有如下结论：
(1)当l与AB(或AB的延长线)、AC都相交时，设l与AB(或AB的延长线)交于E，与AC交于F.因为是△AEP的外角，所以必然有>；反之，当>时，l与AB(或AB的延长线)、AC都相交.
(2)当l与AB不相交时，则l//AB，这时有；反之，当时，l//AB，那么l与AB不相交.
(3)当l与BA的延长线、AC都相交时，设l与AB的延长线交于G，因为是△APG的外角，所以必然有<；反之，当<时，l与AB的延长线、AC都相交.21教育网
思考：
将图3-9中的等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面，则得到图3-10(课本第49页).
如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？
(参考课本第48-49页老师引导学生探索三种情况的具体过程)
归纳提升：
定理2
在空间中，取直线为轴，直线与相交于O点，其夹角为，围绕旋转得到以O为顶点，为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为β(π与平行，记住β＝0)，则：
(1)β＞，平面π与圆锥的交线为椭圆；
(2)β＝，平面π与圆锥的交线为抛物线；
(3)β＜，平面π与圆锥的交线为双曲线.
思考：你能仿照定理1的证明方法证明定理2的结论(1)吗？
下面给出交线为椭圆时的证明.
如图3-11(课本第49页)，利用Dandelin双球(这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切)证明：β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆.
讨论：点A到点F的距离与点A到直线m的距离比小于1).
证明1：利用椭圆第一定义，证明
FA+AE=BA+AC=定值，详见课本.
证明2：①上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π/；21cnjy.com
②如果平面π与平面π/的交线为m，在图中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是(小于1).(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数为离心率e.)21·cn·jy·com
点评：利用②可以证明截线为抛物线，双曲线的情况，以离心率的范围为准.
探究：如图3-12(课本第50页)找出椭圆的准线；(2)探讨P到焦点F1的距离与到两平面交线m的距离之比.www.21-cn-jy.com
如图3-12(课本第50页)，上面一个Dandelin球与圆锥的交线为圆S，记圆S，所在的平面为π′.设π与π′的交线为m.在椭圆上任取一点PF1，连接P.在π中过P作m的垂线，垂足为A.过P作π的垂线，垂足为B，连接AB，则AB是PA在平面π′上的投影.容易证明，m⊥AB.故∠PAB是平面π与平面π′交成的二面角的平面角.在Rt△ABP中，∠APB=，所以2·1·c·n·j·y
(1)
设过P的母线与圆S交于Q1，则在Rt△PQ1B中，∠Q1PB=，所以
(2)
由(1)(2)得：
由上述可知，椭圆的准线为m，椭圆上任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数，因此椭圆的离心率，即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比.21·世纪
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最后，我们延用讨论椭圆结构特点的思路，讨论一下双曲线的结构特点.
如图3-13(课本第50页)，当时，平面π与圆锥的两部分相交.在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.【来源：21·世纪·教育·网】
在截口上任取一点P，连接PF1、PF2.过P河圆锥的顶点O作母线，分别与两个球相切与Q1、Q2，则PF1=PQ1，PF2=PQ2.所以www-2-1-cnjy-com
由于Q1Q2为两圆S1、S2所在平行平面之间的母线段长，因此Q1Q2得长为定值.
由上所述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为常数.
课堂小结
回顾本课学习了哪些知识？
x
y
P
D
O
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