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1.3.1
相似三角形的判定
教案
教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2．掌握两个三角形相似的判定条件(三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似)——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理(平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似)．21世纪教育网版权所有
3．会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
4.初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．21·世纪
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教学重、难点
重点：(1)相似三角形的定义与三角形相似的预备定理；
(2)掌握判定方法，会运用判定方法判定两个三角形相似．
难点：(1)三角形相似的条件归纳、证明；
(2)会准确的运用三角形相似的条件来判定三角形是否相似.
注意事项
(1)要注意强调相似三角形定义的符号表示方法(判定与性质两方面)，应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；2-1-c-n-j-y
(2)要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比；21
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(3)要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；
(4)相似比是带有顺序性和对应性的(这一点也可以在上一节课中提出)：
如△ABC∽△A′B′C′的相似比，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；【来源：21cnj
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(5)“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．
教学过程
一、复习引入
1.思考
(1)相似多边形的主要特征是什么？
(2)在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且．
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，
则有∠A=∠A′，
∠B=∠B′，
∠C=∠C′，且．
(3)问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
2．思考判断相似三角形的条件．
3．【归纳】
三角形相似的预备定理
平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
二、探究1
1.思考
(1)
两个三角形全等有哪些判定方法？
(2)
我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
(3)
全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
(4)
如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？www.21-cn-jy.com
2．(1)提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么能否判定这两个三角形相似呢？2·1·c·n·j·y
(2)带领学生画图探究；
(3)【归纳】
三角形相似的判定方法1
如果两个三角形的两个角对应相等，
那么这两个三角形相似．
3．(1)提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？
(2)教师带领学生探求证明方法．
4.例题解析
例1
如图1-20(课本第11页)在△ABC中，AB=AC，D是AC边上一点，BD=BC，求证：BC2=ACCD.【出处：21教育名师】
例2
如图1-21(课本第12页)，圆内接△ABC的角平分线CD延长后交圆于点E，求证：
三、探究2
用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：
(1)提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？21·cn·jy·com
(2)让学生画图，自主展开探究活动．
(3)【归纳】
三角形相似的判定方法2
两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．
四、探究3
1.证明命题：
引理
如果一条直线截三角形的两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
已知：如图1-23(课本第13页)，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且
求证：DE//BC.
证明：过D作直线DE′//BC，交AC于点E′，则
因此点E与E′重合，即直线D
E′与DE重合，所以DE//BC.
2.例题解析
例3
如图1-24(课本第14页)，在△ABC内任取一点D，连接AD和BD，点E在△ABC外，∠EBC=∠ABD，
∠ECB=∠DAB.求证：△DBE∽△ABC.【来源：21·世纪·教育·网】
五、探究4
1思考
研究两个三角形相似的判定问题，除了上面的方法外，通过与三角形全等的判定进行类比，例如，类比“三边对应相等，两三角形全等”，可猜想：“三边对应成比例，两三角形相似”.
判定定理3
对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
2．(1)提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？
(2)教师带领学生探求证明方法．
3.例题解析
例4
如图1-26(课本第15页)，已知D、E、F分别是△ABC三边BC、CA、AB中点，求证：△DEF∽△ABC.www-2-1-cnjy-com
六、探究5
1.思考
我们知道，与一般三角形相比，直角三角形有一个角为直角
，三边长满足勾股定理等特殊的边角关系.这种关系可以使判定两个直角三角形相似的条件得到简化.例如，我们有21教育网
定理(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.
此外，与直角三角形全等的判定定理类比，可引出直角三角形相似的另一个判定定理.
定理
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
2．(1)提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？
(2)教师带领学生探求证明方法．
3.例题解析
例5
如图1-28(课本第16页)
七、课堂练习
1．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？
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2．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．
八、课堂小结
总结回顾本课学习了哪些知识.
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1.3.2
相似三角形的性质
教案
教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2.总结归纳出相似三角形的有关性质.
教学重、难点
重点：学习相似三角形的性质
难点：(1)相似三角形的性质归纳、证明；
(2)会准确的运用相似三角形的性质解决问题.
教学过程
1、思考导入
我们知道，相似三角形的判定，讨论的是具备哪些条件才能有两个三角形相似.相似三角形的性质讨论的则是在两个三角形相似的条件下，可以得出哪些结论.一般地，我们可以在两个三角形相似的条件下，考察与三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积等所具有的关系.21世纪教育网版权所有
2、做一做
利用计算机任意作两个相似三角形，测出相似比，分别测量出它们的高、周长、面积…….分别计算两个高之比、周长之比、面积之比……并观察它们与相似比的关系.按照相同比例放缩这两个三角形，相似比的关系又怎样的变化？21教育网
可以发现下列相似三角行的性质定理：
(1)相似三角线对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
(2)相似三角线周长比等于相似比；
(3)相似三角线面积比等于相似比的平方.
教师带领学生探求证明方法
3、例题解析
例6
如图1-30(课本第17页)，锐角三角形ABC是一块钢板的余料，BC=24cm，BC边上的高AD=12cm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两顶点分别在AB、AC上.求这个正方形零件的边长.21·cn·jy·com
4、思考
由相似三角形的性质定理可知，相似三角形的高、中线、内角平分线、周长、面积等要素都与相似比有关.拓宽思路，考虑三角形有关但不在三角形内的其他元素，这些元素是否与三角形相似比有联系呢？你想到了哪些元素？www.21-cn-jy.com
问题1
两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？
探究：如图1-31(1(2)(课本第18页)，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′外接圆的直径.连接BD、B′D′，则∠ABD=∠A′B′D′=90°.21cnjy.com
……(老师带着学生推导证明).
于是可得结论：
相似三角行外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.
问题2
两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？请同学们自己探究.
5、课堂小结
(1)相似三角行的性质定理.
(2)相似三角行外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.
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